3.3幂函数11题型分类（讲+练）（教师版） 2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）.pdf

3.3幂函数11题型分类

一、幂函数的概念

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

注意：幂函数的特征

(1)xα的系数是1；

(2)xα的底数x是自变量；

(3)xα的指数α为常数．

α5α

只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)，y＝2x，y＝x＋6等的函数都不

是幂函数．

二、一些常用幂函数的图象

23－1

同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x的图象(如图)．

三、一些常用幂函数的性质

函数

特征y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1

性质

定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}

值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}

非奇非

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

偶函数

在(0，

在[0，＋∞)上单

在(－∞，＋＋∞)上单调递

在(－∞，＋∞)调递增在[0，＋∞)上单

单调性∞)上单调减

上单调递增调递增

在(－∞，0]上单递增在(－∞，0)上

调递减单调递减

注意：幂函数的性质

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；

(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右

边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方

无限接近x轴；

(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

（一）

幂函数的概

判断一个函数是否为幂函数的方法

α

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝x(α为常数)的形式，即函数的解析式为

一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.

题型1：判断一个函数是否为幂函数

1-120