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上海市度嘉定区2025届高三下学期第三次诊断考试数学试题试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（）

A． B． C． D．

2．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：

①曲线有四条对称轴；

②曲线上的点到原点的最大距离为；

③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；

④四叶草面积小于.

其中，所有正确结论的序号是（）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④

3．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）

A． B．

C． D．

4．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

5．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有()

A．60种 B．70种 C．75种 D．150种

6．设，，则（）

A． B．

C． D．

7．已知函数，，则的极大值点为()

A． B． C． D．

8．已知函数为奇函数，且，则（）

A．2 B．5 C．1 D．3

9．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（）

A．30 B． C． D．62

10．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（）

A． B． C． D．

11．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A．240 B．264 C．274 D．282

12．已知i为虚数单位，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是____.

14．设，则______.

15．已知公差大于零的等差数列中，、、依次成等比数列，则的值是__________．

16．展开式中项的系数是__________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值.

18．（12分）已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，，证明：.

19．（12分）已知关于的不等式解集为（）.

（1）求正数的值；

（2）设，且，求证：.

20．（12分）如图，已知在三棱台中，，，.

（1）求证：；

（2）过的平面分别交，于点，，且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为，几何体为棱柱，求的长.

提示：台体的体积公式（，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）.

21．（12分）已知椭圆过点，设椭圆的上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线交椭圆于，两点，设直线与直线的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点为线段上的点，过三点的平面与交于点.将①，②，③中的两个补充到已知条件中，解答下列问题：

（1）求平面将四棱锥分成两部分的体积比；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD，算出长度.

【详解】

几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为

故选：C.

本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.

2．C

【解析】

①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.

【详解】

①：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

综上可知：有四条对称轴，故正确；

②：因为，所