重难点突破17 圆锥曲线中参数范围与最值问题（八大题型）（含答案解析）.docx

重难点突破17圆锥曲线中参数范围与最值问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：弦长最值问题 2

题型二：三角形面积最值问题 11

题型三：四边形面积最值问题 16

题型四：弦长的取值范围问题 22

题型五：三角形面积的取值范围问题 28

题型六：四边形面积的取值范围问题 36

题型七：向量数量积的取值范围问题 40

题型八：参数的取值范围 45

03过关测试 52

1、求最值问题常用的两种方法

（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．

（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．

2、求参数范围问题的常用方法

构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：

（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．

③利用基本不等式求出参数的取值范围．

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．

题型一：弦长最值问题

【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左?右焦点分别为，上?下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值.【解析】（1）由题意可得，可得，

，或，

所以椭圆的方程为：或；

（2）由以线段为直径的圆与椭圆无公共点，得，

所以椭圆的标准方程为：，

因为，所以点在椭圆外，

设，

当直线的斜率存在时，，

由，可得，解得，（*）

设直线，

联立，整理可得：，

由，

整理可得：，解得或，

且，

代入整理可得，

代入直线的方程，得，

可得，

当直线的斜率不存在时，，则，

由，得，也满足方程，

所以点在直线（在椭圆内部）上，

设点F21,0关于直线的对称点为，

则解得，

所以，

此时点在椭圆内，符合题意，

所以的最小值为.

【典例1-2】过点的直线与椭圆交于点A和B，且．点，若O为坐标原点，求的最小值．

【解析】

解法一：由且，得，

说明P，Q关于椭圆调和共轭，则Q在对应的极线上，此极线方程为，即，

故OQ的最小值就是点O到直线的距离．

解法二：构造同构式设点Q，A，B的坐标分别为，

由题设有，则，

又Q，A，P，B四点共线，故可设．

则.①.②

点Ax1,y1在椭圆上，将①

点Bx2,y2在椭圆上，将

由③④知μ，－μ是方程的两根，

由韦达定理得，点Q的轨迹方程为，

故OQ的最小值就是点O到直线的距离．

解法3：定比点差法

设，由，得，

同理，由，得，

∴，（*）

由，作差整理得，

代入（*）式有，∴点Q的轨迹方程为．

故OQ的最小值就是点O到直线的距离．

【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．

(1)求的方程：

(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．【解析】（1）由椭圆得：左右焦点分别是，

因为双曲线的顶点恰好是、，设双曲线的方程为：，

所以，

又由一条渐近线是，可得，所以，

即双曲线的方程为：，

（2）

设直线的方程为：，与椭圆联立得：

，

可设Ax1

则，

同理可设直线的方程为：，与椭圆联立得：

，

可设，则

则，

再由直线的方程为：与直线的方程为：联立解得：

，

由于这两直线交点就是点，则把点的坐标代入双曲线的方程得：，化简得：，

点（异于顶点），所以，即，

则

，

当且仅当，即时，有最小值.

【变式1-2】已知曲线：.

(1)若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；

(2)若曲线为椭圆，且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线（与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积；

(3)若，过点A0,-1的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值.

【解析】（1）因为曲线：为双曲线，

若焦点在轴，则，又渐近线方程为，

则，即，解得或（舍去），此时曲线的离心率；

若焦点在轴，