重难点突破16 圆锥曲线中的定点、定值问题（十二大题型）.docx

重难点突破16圆锥曲线中的定点、定值问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 3

题型一：面积定值 3

题型二：向量数量积定值 4

题型三：斜率和定值 7

题型四：斜率积定值 8

题型五：斜率比定值 10

题型六：斜率差定值 12

题型七：线段定值 13

题型八：坐标定值 15

题型九：角度定值 16

题型十：直线过定点 18

题型十一：动点在定直线上 19

题型十二：圆过定点 21

03过关测试 22

1、定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：

（1）变量选择适当的量为变量．

（2）函数把要证明为定值的量表示成变量的函数．

（3）定值化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．

2、求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．

常用消参方法：

①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．

②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．

③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．

④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：

，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．

3、求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．

一般解题步骤：

①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．

②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．

③参数无关找定点：找到和没有关系的点．

题型一：面积定值

【典例1-1】如图所示，已知椭圆，A，B是四条直线，所围成的矩形的两个顶点．若M，N是椭圆C上的两个动点，且直线OM，ON的斜率之积等于直线OA，OB的斜率之积，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

【典例1-2】（2024·湖北荆州·三模）从抛物线上各点向轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为.

(1)求的轨迹方程；

(2)是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，

①若，求的值；

②证明：三角形与三角形的面积之比为定值.

【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.

【变式1-2】（2024·重庆·三模）已知，曲线上任意一点到点的距离是到直线的距离的两倍.

(1)求曲线的方程；

(2)已知曲线的左顶点为，直线过点且与曲线在第一、四象限分别交于，两点，直线、分别与直线交于，两点，为的中点.

（i）证明：；

（ii）记，，的面积分别为，，，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1.

(1)求动点的轨迹的方程.

(2)过点A的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

题型二：向量数量积定值

【典例2-1】（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.

(1)求线段的中点的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【典例2-2】（2024·上海闵行·二模）已知点分别为椭圆的左?右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点.

(1)求证：；

(2)求证：为定值，并求出该定值；

【变式2-1】（2024·陕西宝鸡·一模）椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.

(1)求椭圆的方程；

(2)设，过椭圆的右焦点作直线交于、两点，试问：是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

【变式2-2】（2024·高三·河南南阳·期末）P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交直线（）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线于R，若△OMQ，ONR的面积之和为．

(1)求点P的