专题02 导数在研究函数中的应用（16考点清单，知识导图+8个考点清单题型解读）（解析版）_1_1.docx

清单02导数在研究函数中的应用

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间

【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则的单调递增区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．

【详解】由得：，即的定义域为；

，

当时，；当时，；

的单调递增区间为．

故选：A．

【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数的单调增区间为.

【答案】

【分析】首先求函数的导数，再结合导函数的单调性和零点，即可求解函数的增区间.

【详解】函数，，

单调递增，单调递减，所以单调递增，

当时，，所以当时，，

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：

【变式1-1】.（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可.

【详解】函数的定义域为，

且，

令，解得，

所以的单调递增区间为.

故选：D

【变式1-2】.（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）函数在上的单调递增区间为．

【答案】，

【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的单调递增区间.

【详解】函数，求导得，

当时，由，得，解得或，

所以所求单调递增区间为，.

故答案为：，

【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数

①已知在区间上单调递增，恒成立.

②已知在区间上单调递减，恒成立.

【例1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据题意，恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案.

【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立，

即恒成立，设，，

当时，，所以，则，

所以实数a的最小值为.

故选：B.

【例2】（23-24高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.

【详解】因为，所以，

因为在区间上单调递减，

所以，即，则在上恒成立，

因为在上单调递减，所以，故.

故选：A.

【变式2-1】.（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】由，结合题意在上恒成立求范围，即可判断所能取的值.

【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立，

所以上恒成立，即恒成立，

而在上递增，故.

所以A符合要求.

故选：A

【变式2-2】.（22-23高二下·湖北武汉·期中）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求导，根据导函数的符号求解.

【详解】，由条件知当时，，即，

令，是减函数，；

故选：D.

【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数

①已知在区间上存在单调增区间使得有解

②已知在区间上存在单调减区间使得有解

【例1】（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题.

【详解】因为函数在上存在单调递增区间，

所以存在，使成立，即存在，使成立，

令，，变形得，因为，所以，

所以当，即时，，所以，

故选：D．

【例2】（22-23高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出函数的定义域，则有，对函数求导后，令求出极值点，使极值点在内，从而可求出实数的取值范围.

【详解】因为函数的定义域为，

所以，即，

，

令，得或（舍去），

因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，

所以，得，

综上，，

故选：A

【例3】（2023高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在上有解即可得出结果.

【详解】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．

故选:B．

【变式3-1】.（21-22高三上·河南·阶段练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对求导，由题意知存在使，结合二次