专题01平面直角坐标系中的直线（考题猜想，4种易错分析13个考点40题专练） 解析版_1_1.docx

专题01平面直角坐标系中的直线（考题猜想，4种易错分析13个考点40题专练）

易错点1:忽视对斜率不存在情况的讨论而致错

例1：求经过两点的直线的斜率.

【解析】当，即时，直线垂直于轴，其斜率不存在；

当，即时，直线的斜率.

【变式】.[四省八校2022质量检测]直线和直线垂直，则实数的值为（）.

特别提醒：当时，一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0，两直线方程分别为与，符合题意.因而求解时，正确利用两直线的一般式方程垂直的判断方法，或者分类讨论.需要特别注意直线斜率不存在与直线斜率为0时的情况.

【解析】因为直线和直线垂直，所以，解得或.故选.

【答案】

易错点2：易忽视对截距为0时情况的讨论而致错

例2：直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的3倍，求直线的方程.

【错解】设直线的方程为，又直线过点，解得，直线的方程为，即.

【错因分析】忽略横、纵截距都为0的情况

【正解】当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为，又直线过点，解得，.直线的方程为，即.

当直线在轴上的截距为零时，则直线过原点，设其方程为，直线过点，解得，直线的方程为，即.

综上所述，所求直线的方程为或.

【变式1】.[重庆一中2022期中]过点作直线，满足在两坐标轴上截距相等的直线有（）.

特别提醒：直线在两坐标轴上的截距相等，应分为直线过原点（即截距都为零）与直线不过原点（即截距都不为零）两种情况讨论，分别求出直线方程，过原点的情况最容易被忽略.

【解析】若在两坐标轴上的截距都为零，则直线过，则直线方程为；若两坐标轴上的截距都不为零，则设直线方程为，则，解得，所以直线方程为，所以满足在两坐标轴上截距相等的直线有2条.故选.

【变式2】.[浙江杭师大附中2023期中]过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是.

特别提醒：直线在两坐标轴上的截距相等，应分为直线过原点（即截距都为零）与直线不过原点（即截距都不为零）两种情况讨论，分别求出直线方程，过原点的情况最容易被忽略.

【解析】当直线过原点时，设其方程为，因为直线过点，所以，解得，故直线方程为当直线不过原点时，设其方程为

（提示：已知直线在轴和轴上的截距为，，，则直线方程为），因为直线过点，所以，解得，即直线方程为，综上，直线方程为或.

【答案】

易错点3：对直线平行与垂直时的斜率关系理解有误

例3：已知直线与平行，求的值.

【解析】当，即时，直线与的斜率均不存在，此时两直线的方程为与，所以//.

当时，此时两条直线的方程为与.

由//得，解得，

经检验知，此时有.

所以当//时，或.

易错点4：忽略对参数取值的检验致误

例4：[江苏宿迁2023调研]若直线与直线垂直，则的值为（）

特别提醒：本题考查根据直线一般式方程判断垂直关系，需要满足，求出参数值后，切记要对参数的取值进行检验，如本题，容易误认为也满足题设条件导致增解.

【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得或.

当时，直线不存在，故舍去；当时，满足题意，故选.

【答案】

一．直线的倾斜角（共5小题）

1．（2021秋?浦东新区校级期末）直线的倾斜角为．

【分析】先将直线方程化为斜截式，可求斜率，再根据斜率与倾斜角的关系可求答案．

【解答】解：将直线方程化为斜截式得，，

故斜率为，，

故答案为

【点评】本题的考点是直线的倾斜角，主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查方程的斜截式

2．（2021秋?浦东新区校级月考）已知下列命题：

①直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；

②直线的斜率为，则直线的倾斜角为；

③直线的倾斜角为，则．

上述命题中不正确的是

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【分析】根据直线的倾斜角与斜率的定义，判断即可．

【解答】解：对于①，直线的倾斜角为，，直线的斜率不存在，时，直线的斜率为，所以①错误；

对于②，直线的斜率为时，不一定是直线的倾斜角，如时，直线的斜率为，倾斜角为，所以②错误；

对于③，直线的倾斜角为，时，，所以③错误．

综上知，错误的命题序号是①②③．

故选：．

【点评】本题考查了直线的倾斜角和斜率的定义与应用问题，是基础题．

3．（2023秋?丽水期末）直线的倾斜角的取值范围是

A． B．， C．， D．，

【分析】根据题意求出直线的斜率，再求倾斜角取值范围．

【解答】解：直线可化为

；

且直线的斜率为，

由，所以，

所以，

所以，

又，，

所以直线的倾斜角的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题．

4．（2020秋?杨浦区校级期中