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学必求其心得，业必贵于专精
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典例精讲
直线与圆的位置关系是初等几何的核心，通过本章学习进一步熟悉并应用分类思想、运动变化思想和猜想与证明的数学思想方法。
本讲有四类问题，一是与圆有关角的计算与证明，二是圆内接四边形性质与判定，三是切线的性质与判定,四是与圆有关线段的计算与证明.
【例1】如图2—1，EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是______________。
图2—1
思路分析:要求∠A,可转化为求∠BCD。由已知∠DCF的度数,想到先求∠ECB的度数,从而注意到题目所给的EB、EC为切线，将∠ECB与∠E的度数联系起来.
解法一：∵EB、EC是⊙O的切线,
∴EC=EB.又∠E=46°，
∴∠ECB==67°。
∵∠DCF=32°,∴∠BCD=180°—67°-32°=81°。
∵∠A+∠BCD=180°,
∴∠A=180°—81°=99°.
温馨提示
本解法借助切线长定理和圆内接四边形的有关性质,此题还可借助于弦切角定理来求。
解法二:连结AC,∵EB、EC是⊙O切线，
图2—2
∴EB=EC。
∴∠ECB==67°.
∵EF切⊙O于点C,∴∠BAC=∠ECB=67°，∠CAD=∠DCF=32°。
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=67°+32°=99°。
答案：99°
【例2】如图2—3，D、E是△ABC的BC、AC两边上两点，且∠ADB=∠AEB.
求证:∠CED=∠ABC。
图2-3
思路分析：要证∠CED=∠ABC，容易想到圆内接四边形的性质。而证A、B、D、E四点共圆，用圆内接四边形判定定理不易找到条件,我们采用分类讨论思想.
证明：作△ABE的外接圆⊙O,则点D与⊙O有三种位置关系：①点D在圆外;②点D在圆内;③点D在圆上.
（1）如果点D在圆外,设BD与⊙O交于点F,连结AF，
则∠AFB=∠AEB，而∠AEB=∠ADB.
∴∠AFB=∠ADB。
这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾。
故点D不能在圆外.
(2)如果点D在圆内，设⊙O与CD交于F，连结AF，则∠AFB=∠AEB.
又∵∠AEB=∠ADB，∴∠AFB=∠ADB。
这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾。
故点D不可能在圆内.
综上所求，A、B、D、E在同一圆上.∴∠CED=∠ABC。
温馨提示
通过证四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质是本题的一个特色,四点共圆的证明除了圆内接四边形的判定定理及推论外,定理本身的证明方法就是一种有效的证法.证法中分类讨论思想是该证法的精髓,以反证法和圆周角定理作为辅助手段.
【例3】如图2-4,已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=13，AB=5,O是AB上的点,以O为圆心,OB为半径作⊙O.
（1）当OB=2.5时，⊙O交AC于点D,求CD的长.
(2）当OB=2。4时，AC与⊙O的位置关系如何？试证明你的结论。
图2-4
思路分析：求CD的长容易想到利用圆幂定理。其中AC已知,只需求BC并证BC为切线即可.
解:(1）在Rt△ABC中，BC==12.
∵∠B=90°,OB为半径,
∴BC是⊙O切线.
又AB=5,OB=2。5,
∴OA=2。5，即A在圆上.
由切割线定理,得BC2=CD·AC。
∴CD=.
(2)当OB=2.4时,AC是⊙O的切线,如图2-5.
图2-5
证明:过O作OM⊥AC于M，则△AOM∽△ACB。
∴.
∴OM=2.4，
即点O到AC的距离等于⊙O的半径。
∴AC切⊙O于点M。
【例4】如图2—6，已知P是直径AB延长线上的一点,割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E。
（1)求证：PA·PB=PO·PE；
(2)若DE⊥CF,∠P=15°,⊙O的半径为2,求CF的长.
图2—6
思路分析：由PA·PB立刻想起割线定理.只需证PC·PD=PO·PE。
(1)证明：连结OD。
∵DF⊥AB,∴=。
又∠AOD度数等于度数的一半,∠DCF度数等于度数的一半,
∴∠AOD=∠DCF.
∴180°—∠AOD=180°-∠DCF.
∴∠POD=∠PCE，∠P为公共角.
∴△PCE∽△POD。∴.
∴PC·PD=PO·PE。
由割线定理PC·PD=PA·PB，
∴PA·PB=PO·PE。
(2）解析:∵AB⊥DF,∴DE=EF.
∵DE⊥CF,∴△DEF为等腰直角三角形.
∴∠F=∠FEH=∠HDE=45°。
∵∠P=15°,∴∠DCF=∠P+∠CEP
=15°+45°=60°.
∴∠DOH=60°。
在Rt△ODH中,DH=OD·sin∠DOH=2·sin6
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