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2024届成都市田家炳中学高三3月联考(数学试题理)试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知不等式组表示的平面区域的面积为9,若点,则的最大值为()
A.3 B.6 C.9 D.12
2.已知,则下列说法中正确的是()
A.是假命题 B.是真命题
C.是真命题 D.是假命题
3.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的焦距为8,一条渐近线方程为,则C为()
A. B.
C. D.
4.已知函数的图像向右平移个单位长度后,得到的图像关于轴对称,,当取得最小值时,函数的解析式为()
A. B.
C. D.
5.设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.总体由编号01,,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.01
7.已知直线,,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()
A. B. C. D.
9.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半,羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?()
A. B. C. D.
10.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()
A. B. C. D.
11.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
12.已知实数满足,则的最小值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.
14.在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________.
15.在的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则_______,项的系数等于________.
16.设,则“”是“”的__________条件.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在边长为的正方形,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,构成一个三棱锥.
(1)判别与平面的位置关系,并给出证明;
(2)求多面体的体积.
18.(12分)某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所.
(1)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;
(2)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选校,另在四校中再随机选1所;而同学乙和丙对五所高校没有偏爱,因此他们每人在五所高校中随机选2所.
(i)求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率;
(ii)记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数,求随机变量的分布列及数学期望.
19.(12分)在如图所示的多面体中,平面平面,四边形是边长为2的菱形,四边形为直角梯形,四边形为平行四边形,且,,
(1)若分别为,的中点,求证:平面;
(2)若,与平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.
20.(12分)设函数.
(1)解不等式;
(2)记的最大值为,若实数、、满足,求证:.
21.(12分)三棱柱中,平面平面,,点为棱的中点,点为线段上的动点.
(1)求证:;
(2)若直线与平面所成角为,求二面角的正切值.
22.(10分)已知函数
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