重难点突破14 阿基米德三角形（七大题型）.docx

重难点突破14阿基米德三角形

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 3

题型一：定点问题 3

题型二：交点的轨迹问题 5

题型三：切线垂直问题 6

题型四：面积问题 7

题型五：外接圆问题 9

题型六：最值问题 10

题型七：角度相等问题 11

03过关测试 13

如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．

1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．

2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．

3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．

4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．

5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．

6、点的坐标为；

7、底边所在的直线方程为

8、的面积为．

9、若点的坐标为，则底边的直线方程为．

10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.

11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．

12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．

图1

题型一：定点问题

【典例1-1】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：给出如下三个条件：①焦点为；②准线为；③与直线相交所得弦长为2．

(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；

(2)已知是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．

【典例1-2】（2024·山东滨州·一模）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．

（1）求的方程；

（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．

【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知动圆过点（0，1），且与直线：相切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)点一动点，过作曲线E两条切线，，切点分别为，，且，直线与圆相交于，两点，设点到直线距离为．是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【变式1-2】设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的焦点，当时，.

(1)求抛物线的方程；

(2)当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标；

(3)是否存在定圆：，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【变式1-3】（2024·河南·模拟预测）已知动点到直线的距离比到定点的距离大1.

（1）求动点的轨迹的方程.

（2）若为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，为的中点.

①求证：轴；

②直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

题型二：交点的轨迹问题

【典例2-1】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．(1)求抛物线的方程；

(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；

(3)过（2）中的点的直线交抛物线于D，两点，过点D，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．

【典例2-2】已知抛物线的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程．

【变式2-1】（2024·高三·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，点满足方程.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）作曲线关于轴对称的曲线，记为，在曲线上任取一点，过点作曲线的切线，若切线与曲线交于、两点，过点、分别作曲线的切线、，证明：、的交点必在曲线上.

【变式2-2】已知抛物线C：，过点的直线交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.

(1)设直线，的斜率分别为，，求证：；

(2)证明：点M在定直线上.

题型三：切线垂直问题

【典例3-1】已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.

（1）若点坐标为，求切线的方程；

（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直.

【典例3-2】已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．

(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；

(2)