专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）_1_1.docx

专题1.2空间向量的数量积运算【五大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1空间向量数量积的计算】 2

【题型2空间向量的夹角及其应用】 2

【题型3利用空间向量的数量积求模】 3

【题型4向量垂直的应用】 4

【题型5投影向量的求解】 5

【知识点1空间向量的夹角与数量积】

1．空间向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.

特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.

2．空间向量的数量积

定义

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

性质

①a⊥b?a·b＝0

②a·a＝a2＝|a|2

运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.

②a·b＝b·a(交换律)．

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).

3．空间向量夹角的计算

求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．

4．空间向量数量积的计算

求空间向量数量积的步骤：

(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．

(3)代入求解．

【题型1空间向量数量积的计算】

【例1】（2023秋·高一单元测试）在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC等于（???）

A．-1 B．0 C．1 D

【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中CE=ED，AF=2FD，则向量BE?CF=

A．-13 B．13 C．-12

【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA=AB

A．109 B．263 C．8

【变式1-3】（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是正方体ABCD

A．-2,0 B．-1,0 C．0,1 D

【题型2空间向量的夹角及其应用】

【例2】（2023春·高二课时练习）若非零向量a，b满足a=b，(2a-b)?b=0

A．30° B．60° C．120° D．150°

【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a,b,c满足a+b+c=

A．30° B．45°

C．60° D．以上都不对

【变式2-2】（2023春·高二课时练习）空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC

A．12 B．22 C．-1

【变式2-3】（2023春·高二课时练习）已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=e1

A．60° B．120°

C．30° D．90°

【题型3利用空间向量的数量积求模】

【例3】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=

A．5 B．5 C．6 D．6

【变式3-1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°

A．5 B．6 C．4 D．8

【变式3-2】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A-EF-C的大小为45°，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B

??

A．2 B．3 C．3-2 D．

【变式3-3】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）如图，三棱锥O-ABC各棱的棱长是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE=λOC

A．12 B．22 C．32

【题型4向量垂直的应用】

【例4】（2023春·甘肃武威·高二统考期中）在空间，已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a=2e1

A．－6 B．6

C．3 D．－3

【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体ABCD-A1B1

A．AD1?B1C B．B

【变式4-2】（2023春·上海杨浦·高二校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，AD?AC=0，AB?AD=0，点M为

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

【变式4-3】（2022秋·浙江·高二校联考期中）在如图所示的平行六面体ABCD-ABCD中，已知AB=AA=AD，∠

A．12 B．13 C．14

【知识点2向量的投影】

1．向量的投影

(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向