数学学案：第二章离散型随机变量的方差.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2。3。2离散型随机变量的方差

学习目标

重点、难点

1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．

2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．

3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.

重点：离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；

方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．

难点:离散型随机变量的方差的计算与应用。

1．离散型随机变量的方差、标准差

（1）定义：设离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则______描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E（X）的偏离程度,而D（X)＝__________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度．我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其__________为随机变量X的标准差．

(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于____的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度____．

（3）离散型随机变量的方差的性质:

设a，b为常数，则D(aX＋b)＝______。

预习交流1

(1）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?

(2）已知X的分布列为

X

1

2

3

4

P

0。2

0。3

0。1

0.4

则D(X)＝(）．

A．2。7B．1。35C．1。41D．

(3)已知随机变量X的方差为D(X)＝0。5,当η＝2X－1时，D(η）＝______.

2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差

（1)若X服从两点分布,则D(X）＝____;

(2）若X~B（n,p)，则D(X)＝____.

预习交流2

若随机变量ξ服从二项分布ξ～Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(9,\f(1,3））），则D(ξ）＝______。

答案：

1．（1)(xi－E(X)）2eq\i\su（i＝1，n，）(xi－E（X）)2pi算术平方根eq\r(D?X?)（2）均值越小（3）a2D(X）

预习交流1：

(1)提示：随机变量的方差即为总体方差,它是一个常数，不随抽样样本的变化而客观存在；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的，对于简单随机样本，随着样本容量的增加,样本方差越来越接近于总体方差．

（2）提示：E（X)＝2.7，D（X）＝1.41.

(3）提示：D（η)＝22×0。5＝2。

2．(1）p（1－p)（2）np（1－p）

预习交流2：

提示:D（ξ）＝9×eq\f（1,3)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（1，3)))＝2.

在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！

我的学困点

我的学疑点

一、离散型随机变量的方差与性质

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．

(1)求ξ的分布列、均值和方差;

（2)若η＝aξ＋b，E(η）＝1，D（η）＝11，试求a，b的值．

思路分析:(1）列出ξ的分布列，根据均值与方差的计算公式求解;（2)根据E(η）＝aE（ξ）＋b，D（η)＝a2D（ξ），列出关于a,b的方程组，求解即可．

有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设这3张卡片上的数字之和为ξ。

（1）求E（ξ）和D（ξ)；

（2)若X＝3ξ－2，求E（X），D（X）．

（1）求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．

(2)利用离散型随机变量X的方差的性质：当a，b为常数时,随机变量Y＝aX＋b，则D(Y)＝D(aX＋b）＝a2D（X），可以简化解答过程，提高解题效率．

二、离散型随机变量的方差的应用

2012年4月1日至7日是江西省“爱鸟周”，主题是“爱鸟护鸟观鸟，共享自然之美”．为更好地保护鄱阳湖候鸟资源,需评测保护区的管理水平．

现甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且候鸟的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：

X

0

1

2

3

P

0.3

0。3

0。2

0.2

Y

0

1

2

P

0.1

0.5

0。4

试评定这两个保护区的管理水平．

思路分析：要比较两个保护区的管理水平，要先比较两个保护区的违规事件的平均次数，然后比较其稳定性,即方差．

甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工