数学学案：第二讲二综合法与分析法.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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二综合法与分析法

1．理解综合法和分析法的概念．

2．掌握综合法和分析法的证明过程．

1．综合法

一般地，从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做________,又叫__________或____________．

【做一做1】若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）

A.eq\f（1,a)＜eq\f（1，b） B．a＋eq\f（1，b)＞b＋eq\f（1，a) C．b＋eq\f(1,a）＞a＋eq\f（1，b) D.eq\f（b,a）＜eq\f（b＋1,a＋1)

2．分析法

证明命题时，我们还常常从要证的______出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为__________或______________(定义、公理或已证明的定理、性质等）,从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做__________，这是一种__________的思考和证明方法．

【做一做2－1】分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的（)

A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【做一做2－2】当x＞1时，不等式x＋eq\f(1，x－1）≥a恒成立，则实数a的取值范围是()

A．（－∞，2] B．［2，＋∞) C．[3,＋∞) D．(－∞，3］

答案：1．综合法顺推证法由因导果法

【做一做1】C∵a＜b＜0，∴eq\f（1,a）＞eq\f(1，b），故选项A,B错误，而选项C正确．选项D中,取b＝－1，则eq\f（b＋1,a＋1)＝0,而eq\f(b，a)＞0，故选项D错误．

2．结论已知条件一个明显成立的事实分析法执果索因

【做一做2－1】A

【做一做2－2】D要使x＋eq\f（1,x－1）≥a恒成立，则令f（x)＝x＋eq\f（1，x－1)的最小值大于等于a即可，而x＋eq\f(1，x－1)＝x－1＋eq\f（1,x－1）＋1≥2eq\r（?x－1?·\f(1，x－1))＋1＝3.

∴f（x）的最小值为3,∴a≤3。

1．如何理解综合法证明不等式

剖析:（1)证明的特点．

综合法又叫顺推证法或由因导果法，是由已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证,最后推出所要证明的结论成立．

(2)证明的框图表示．

用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为

eq\x(P?Q1)→eq\x（Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→……→eq\x(Qn?Q）

(3)证明的主要依据．

①a－b＞0a＞b，a－b＝0a＝b，a－b＜0a＜b；

②不等式的性质;

③几个重要不等式：

a2≥0（a∈R),a2＋b2≥2ab(a,b∈R),eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab）（a＞0，b＞0)．

使用综合法时要防止因果关系不清晰，逻辑表达混乱等现象．

2．如何理解分析法证明不等式

剖析:(1）证明的特点．

分析法又叫逆推证法或执果索因法，是须从证明的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个明显成立的不等式为止．

（2)证明过程的框图表示．

用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为

eq\x（得到一个明显成立的不等式)←…←eq\x(P3?P2)←eq\x(P2?P1)←eq\x（P1?Q）

3．综合法和分析法的优点

剖析：综合法的优点是结构整齐,而分析法更容易找到证明不等式的突破口,所以通常是分析法找思路，综合法写步骤．

分析法证明不等式是“逆求”,而绝不是逆推，即寻找的是充分条件,而不是必要条件．

题型一综合法证明不等式

【例1】已知a，b∈R＋，且a＋b＝1,求证:（a＋eq\f(1,a））2＋（b＋eq\f（1，b））2≥eq\f（25，2）。

分析：本题中条件a＋b＝1是解题的重点，由基本不等式的知识联想知应由重要不等式来变形出要证明的结论，本题a＋b＝1，也可以视为是“1”的代换问题．

反思：(1）综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

（2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式,其中常用的有如下几个：

①a2≥0(a∈R)．

②(a－b）2≥0（a,b∈R),其变形有：a2＋b2≥2ab,(eq\f（a＋b，2)）2≥ab，a2＋b2≥eq\f(1,2）（a＋b）2。