数学学案：倍角公式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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3。2倍角公式和半角公式

3。2.1倍角公式

基础知识

基本能力

1．理解二倍角公式的推导过程,并了解倍角公式之间以及它们与和角公式之间的内在联系．(难点）

2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形．(重点、易错点）

1．能运用倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明．（重点）

2．对于倍角公式不仅要会正用，还要会逆用及变形用,尤其是cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)作为降幂公式，更要会熟练应用．(难点、易错点)

倍角公式

记法

公式

推导

S2α

sin2α＝2sin_αcos_α

Sα＋βeq\o（――→,\s\up7（令α＝β))S2α

C2α

cos2α＝cos2α－sin2α

Cα＋βeq\o（――→，\s\up7（令α＝β))C2α

cos2α＝2cos2α－1，

cos2α＝1－2sin2α

利用sin2α＋cos2α＝1

消去sin2α或cos2α

T2α

tan2α＝eq\f（2tanα，1－tan2α）

Tα＋βeq\o(――→，\s\up7（令α＝β））T2α

名师点拨（1)T2α只有当α≠kπ＋eq\f(π,2）（k∈Z)及α≠eq\f（kπ,2）＋eq\f（π,4）(k∈Z)时才成立．

（2）对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是eq\f（1，2）α的二倍角，3α是eq\f(3，2）α的倍角．一般地，(2nm)α是（2n－1m)α的二倍角(n∈Z),于是二倍角公式可对应变形为：

sin（2nmα）＝2sin（2n－1mα）cos(2n－1mα);

cos(2nmα)＝cos2(2n－1mα)－sin2(2n－1mα）;

tan（2nmα）＝eq\f(2tan?2n－1mα?，1－tan2?2n－1mα?）.

【自主测试1】已知tanα＝2，则tan2α等于()

A．4B．eq\f(4,5）C．－eq\f(4，3）D．eq\f（4，3)

答案:C

【自主测试2】(2012·广东珠海质检）函数f(x）＝sinxcosx是(）

A．周期为2π的偶函数

B．周期为2π的奇函数

C．周期为π的偶函数

D．周期为π的奇函数

答案:D

【自主测试3】已知sinα＝eq\f（2,3），则cos（π－2α）＝(）

A．－eq\f(\r(5）,3)B．－eq\f（1,9)C．eq\f（1，9）D．eq\f(\r(5),3)

解析：cos(π－2α）＝－cos2α＝2sin2α－1＝2×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2，3))）2－1＝－eq\f(1，9).

答案：B

关于升降幂公式的解读

剖析：口诀如下:

(1）1加余弦想余弦；

（2)1减余弦想正弦；

(3）幂升一次角减半；

(4)幂降一次角翻番．

图表如下：

归纳总结(1）对于公式sin2α＝2sinαcosα，有①cosα＝eq\f(sin2α，2sinα），②sinα＝eq\f（sin2α，2cosα);

（2）对于(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα，有(sinα＋cosα）2＝1＋sin2α，同理有（sinα－cosα)2＝1－sin2α;

(3)对于公式tan2α＝eq\f（2tanα，1－tan2α)，有eq\f（1,tanα)－tanα＝eq\f（1－tan2α，tanα）＝eq\f（2，tan2α）；

(4）对于等腰三角形,已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式．

题型一化简、求值问题

【例题1】求值：sin50°（1＋eq\r(3）tan10°）．

分析:应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分技巧求解．

解：原式＝sin50°eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f(\r(3）sin10°,cos10°）)）

＝sin50°×eq\f(2\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)cos10°＋\f（\r（3)，2）sin10°）），cos10°）

＝sin50°×eq\f（2sin?30°＋10°?，cos10°）

＝eq\f（2sin40°sin50°,cos10°）＝eq\f(2sin40