湘教版高中数学必修第一册课后习题 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1.3 基本不等式的应用 (2).docVIP

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2.1.3基本不等式的应用

必备知识基础练

1.(江苏南京高一期末)设实数x满足x0,则2+3x+4x+1

A.43-1 B.43+2

C.42+1 D.6

2.已知a0,b0,a+b=-2,则1a

A.-1 B.-32

C.-4 D.-2

3.(多选题)(广东番禺高一期末)已知a0,b0,且a2+b2=1,则()

A.a+b≤2 B.a+b≤1

C.a+b2 D.1a

4.一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2800km,那么这批物资全部到达灾区最少需要

5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为

6.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax

关键能力提升练

7.已知a0,b0,且2a+b=1,若不等式2a

A.10 B.9

C.8 D.7

8.(浙江温州高一期末)已知正数a,b满足a+b=1,则4a1

A.1 B.2

C.4 D.8

9.(云南师大附中高三期末)如果两个正方形的边长分别为x,y,且x+y=1,那么它们的面积之和的最小值是()

A.14 B.12

10.(多选题)(浙江湖州高一期末)已知a0,b0.若4a+b=1,则()

A.14a

B.1a

C.(4a+1)(b+1)的最大值为9

D.(a+1)(b+1)的最大值为9

11.已知代数式x+ax

(1)若a=1,求当x0时,x+ax的最小值为

(2)当x2时,x+ax存在最小值,则满足条件的一个a的值为

12.对任意m,n为正实数,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为.

答案：

1.A∵x0,∴x+10,∴2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥23(x+1)·4x+1-1=43-1,当且仅当3(x+1)=4x+1

2.D∵a0,b0,a+b=-2,∴1a+1b=-121a+1b(a+b)=-122+ba

3.AD因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1+(a2+b2)=2(当且仅当a=b=22

又a0,b0,则a+b≤2,故A正确;

1a2+1b2=a2

4.10当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v2800v=v16h,最后一辆车驶完全程共需要400v

5.3a,b都是正数,满足2a+b=3,

则a+2bab=1b+2a=13(2a+b)2a+1b=

6.解x+y=(x+y)ax+by=a+

因为x,y0,a,b0,

所以x+y≥10+2ab=18,即ab=4.

当且仅当bxy

又a+b=10,所以a=2

7.B2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba

所以2a+1

8.C因为正数a,b满足a+b=1,

则4a1-a

当且仅当4ab=b

故4a1

故选C.

9.B由题意可知,x0,y0,且x+y=1,

由基本不等式可得x2+y2≥2xy,

所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,

所以x2+y2≥12,当且仅当x=y=12时等号成立,因此,两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为

10.BC由题得,14a+1b=14a+1

1a+1b=1a+1

(4a+1)(b+1)≤(4a+1)+

(a+1)(b+1)=14[(4a+4)(b+1)]≤14(

11.(1)2(2)5(答案不唯一,只要a4即可)(1)当a=1时,由基本不等式得x+1x≥2x·1

(2)由基本不等式得x+ax≥2x·ax=2a,当且仅当x=ax

12.22∵m,n为正实数,都有m2-amn+2n2≥0,

∴m2+2n2≥amn,即a≤m2

∵mn+2nm≥2mn

∴a≤22,即最大值为22.