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§2.6函数的连续性
1.函数连续性的概念
2.函数的间断点
3.连续函数的运算法则
4.初等函数的连续性
5.闭区间上连续函数的性质
1
2.6.1函数连续性的概念
定义1:设函数在的某邻域内有定义,且
则称函数f(x)在x0连续.
可见,函数在点x0连续必须具备下列条件:
(1)在点有定义,即存在;
(2)极限存在;
(3)
2
例1当a取何值时,
cosx,x0,
函数f(x)在x0处连续.
a+x,x0,
解f(0)a,
limf(x)limcosx1,
x→0−x→0−
limf(x)lim(a+x)a,
x→0+x→0+
要使f(0−0)f(0+0)f(0),a1,
故当且仅当a1时,函数f(x)在x0处连续.
3
1x0,
例2试证函数f(x)xsin,在x0
x
0,x0,
处连续.
1
证limxsin0,
x→0x
又f(0)0,limf(x)f(0),
x→0
由定义1知
函数f(x)在x0处连续.
4
对自变量的增量有函数的增量
函数在点连续有下列等价命题:
limf(x)f(x)limf(x+x)−f(x)0
定义2:0
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