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2024届安徽省潜山县领头中学高三一诊考试-数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数,是虚数单位,则下列结论正确的是
A. B.的共轭复数为
C.的实部与虚部之和为1 D.在复平面内的对应点位于第一象限
2.已知集合,则全集则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
3.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则()
A. B.3 C. D.2
4.是虚数单位,复数在复平面上对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.若直线与曲线相切,则()
A.3 B. C.2 D.
6.设命题:,,则为
A., B.,
C., D.,
7.如图,在中,,是上的一点,若,则实数的值为()
A. B. C. D.
8.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-x
A.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)
9.已知平行于轴的直线分别交曲线于两点,则的最小值为()
A. B. C. D.
10.已知满足,则()
A. B. C. D.
11.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
12.函数的定义域为,集合,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.正四面体的各个点在平面同侧,各点到平面的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为__________.
14.在的二项展开式中,所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于_______.
15.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75;则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________;经过前后两次烧制后,合格工艺品的件数为,则随机变量的期望为________.
16.设、、、、是表面积为的球的球面上五点,四边形为正方形,则四棱锥体积的最大值为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.
18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线上,点在曲线上,且为正三角形.
(1)求点,的极坐标;
(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点,求的最大值.
19.(12分)已知函数.
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点证明.
20.(12分)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及.
21.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)记函数的最小值为,正实数、满足,求证:.
22.(10分)已知数列的前n项和,是等差数列,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令.求数列的前n项和.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用复数的四则运算,求得,在根据复数的模,复数与共轭复数的概念等即可得到结论.
【详解】
由题意,
则,的共轭复数为,
复数的实部与虚部之和为,在复平面内对应点位于第一象限,故选D.
【点睛】
复数代数形式的
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