重难点突破15 圆锥曲线中的经典七大名圆问题（七大题型）（含答案解析）.docx

重难点突破15圆锥曲线中的经典七大名圆问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 2

题型一：蒙日圆问题 2

题型二：直径为圆问题 9

题型三：四点共圆问题 16

题型四：内准圆问题 25

题型五：彭赛列圆问题 32

题型六：焦点弦圆 38

题型七：准线圆 43

03过关测试 50

1、曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．

2、双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．

3、抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．

4、证明四点共圆的方法：

方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．

方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．

方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．

方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．

题型一：蒙日圆问题

【典例1-1】（2024·上海·模拟预测）日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：.

(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）；

(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值.

【解析】（1）因为椭圆：，所以，

所以椭圆的蒙日圆的方程为；

（2）如图，

由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为，

联立方程，消去并整理得，，

由，得，即，

所以坐标原点到直线：的距离，

所以，

所以；

（3）由（1）知，椭圆C的方程为，椭圆C的蒙日圆方程为，

设Px0,y0，则，设

则切线的方程为，切线的方程为，将Px0,y0代入切线，的方程，有，，

故直线的方程为，

将直线的方程与椭圆的方程联立得，

消去并整理得，

显然，，

所以，，

所以，

又点Px0,y0

所以，

设，则，，

令，

则，

所以函数在上单调递增，所以，

所以面积的最小值为.

【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆．

(1)求该椭圆的方程．

(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746—1818）发现：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”．若椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，直线与椭圆的蒙日圆相交于点，求证：为定值．

【解析】（1）设，则，而点在圆上，

即有，化简得，所以的方程为．

（2）由（1）知椭圆的方程，长半轴长，短半轴长，半焦距，

显然直线，都与椭圆相切，因此直线，所围成矩形的外接圆，

即为椭圆的蒙日圆，方程为，设，则,

在与中，由余弦定理得，，

两式相加得，又，则，

于是，

又，

所以，即为定值.

【变式1-1】法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点.且短轴的一个端点到焦点的距离为.

(1)求椭圆的蒙日圆的方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积为坐标原点）；

(3)设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值.

【解析】（1）由椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为，得，

由椭圆过点，得，解得，于是，

所以椭圆的蒙日圆的方程为.（2）由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为，

由消去并整理得，，

由，得，即，

则坐标原点到直线的距离，，

所以的面积.

（3）由（1）知，椭圆的方程为，椭圆的蒙日圆方程为，

设，则，设，，则，

当切线的斜率存在时，设的方程为，

由消去y得，

，整理得，

即，则，解得，

于是，即，

当切线的斜率不存在时，，的方程为或，满足上式，

因此切线的方程为，同理切线的方程为，

将代入切线，的方程，有，，

从而直线的方程为，当时，

由消去并