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专题1-4已知正弦、余弦或正切的值求角(考点清单,3种题型典例剖析+考场练兵)
如果是锐角,且满足,那么.如果不限定是锐角,那么由诱导公式可知,也满足.再由诱导公式()可知,或()都满足.那么,是否还有其他的角满足呢?下面我们就来研究这个问题.
为此目的,设是一个任意给定的角,我们希望确定所有满足的角.设角的终边与以原点为圆心的单位远的交点为,过点作轴的垂线,如图(1)所示.由正弦的定义,满足的角的终边与单位圆的交点必在此直线上.
当()时,此直线交单位圆于两点和.由于这两点分别位于角和角的终边上,因此满足的角的全体为或,,可简记为,.
当()时,过点且垂直于轴的直线与单位圆相切于,此时满足角的全体为,,这个集合也可以用上面所示的形式来表示.事实上,其表达式与上述集合第一部分中所给的表达式完全相同,而对于上述集合第二部分所给的表达式,由于在()时,
(),
此时它也与上述集合第一部分中所给的表达式一致.
这样,我们就得到:
若,则或,,即,.
同理,如图(2),若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为,则由余弦的定义,满足的角的终边与单位圆的交点在过点且垂直于轴的直线上,从而满足的角的全体为,.这样,我们就得到:
若,则,.
如图(3),若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为,则由正切的定义,满足的角的终边与单位圆的交点在过原点和点的直线上,从而满足的角的全体为,.这样,我们就得到:
若,则,.
题型一:已知正弦值求角
1.(2024下·上海·高一假期作业)已知.
(1)当时,求x的取值集合;
(2)当时,求x的取值集合;
(3)当时,求x的取值集合.
2.(2021下·高一课时练习)求方程的解集:.
3.如果已知,求:满足条件的角的集合;
4.(1)已知,求:满足条件的角的取值范围;
(2)已知,求:满足条件的角的取值范围;
题型二:已知余弦值求角
1.方程的解集为.
2.(2023·上海·高一专题练习)已知.
(1)当时,求;
(2)当时,求的取值集合.
3.已知,求:满足条件的角的集合;
题型三:已知正切值求角
1.方程的解集是(????)
A. B.
C. D.
2.方程的解集是.
3.方程的解集是.
4.(1)已知,求:满足条件的角的集合;
(2)已知,求:在区间内满足条件的角的集合;
(3)已知,求:在区间内满足条件的角的集合;
一、单选题
1、方程的解为()
A., B.,
C., D.,
2、“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、已知,则=()
A.B.
C.D.
4.方程的解集是(????)
A. B.
C. D.
5.设方程的解集为M,方程的解集为N,则(????).
A. B. C. D.以上都不对
二、填空题
6.方程的解集为.
7.方程在内的解集为.
8.方程的解集是.
9.方程的解集是.
10.方程上解的个数为.
11.方程的解集为.
12.方程的解集是.
13.方程在内的解集是.
14.方程的解集是.
三、解答题
15.(2024下·上海·高一假期作业)求:方程的解集
16、求:方程的解集。
17.求方程在区间上所有解的和.
18.求方程的解集.
19.求下列方程的解集:
(1);
(2).
20.已知是方程的解,其中,求的值.
21.求下列方程的解集:
(1);
(2).
22.求下列方程的解集:
(1);????(2);
(3);????(4);
(5);????(6).
23.已知关于x的方程.
(1)当时,求方程的解;
(2)要使此方程有解,试确定m的取值范围.
24.求下列方程的解集:
(1);
(2).
25.解下列三角方程:
(1);
(2);
(3).
26.求下列三角方程的解集:
(1);
(2);
(3).
27.(2021下·高一课时练习)下列三角方程的解集你会求吗?
(1);
(2);
(3).
28.(2024下·上海·高一假期作业)根据下列条件,分别求角:
(1)已知;
(2)已知;
(3)已知.
29.(2021下·高一课时练习)求下列三角方程的解集:
(1);
(2);
(3);
(4).
30.(2021下·上海金山·高一统考期中)求下列各式中角
(1)
(2)
31.已知角终边上一点,且,能
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