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第二节数列的极限第一章函数与极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质第一章
第二节数列的极限本节概要极限概念是由求某些实际问题的精确解而产生的。正是由于极限的概念，建立了有限与无限、变与不变的联系。由极限概念产生的极限理论则构成了微积分的基础，而微积分的创立不仅完毕了常量数学到变量数学的跨越，同时也启动了当代数学之门。只有掌握极限理论才干进一步的解释和理解微积分理论乃至当代数学的思想和办法。
如，一、数列1.数列的定义若按照某法则，对每一种n?N+，对应着一种拟定的实数xn，则序列x1,x2,…,xn,…就叫做数列，简记为数列{xn}.
几何上，数列可看作是数轴上一种动点的轨迹.?0?2?1?????
2.有界数列对于数列{xn}，若存在M0,使得对数列中全部的项xn都成立|xn|?M,则称数列{xn}有界，若这样的M不存在，则称数列{xn}无界.
3.中国古代的极限思想(1)“截杖说”（庄子）——一尺之棰，日取其半，万世不竭。第一天剩余1/2，第二天剩余1/4，第三天剩余1/8，…，第n天剩余1/2n,……显然,该数列中的项随着n的增大越来越靠近0.因此，所余杖棰长度构成数列
(2)“割圆术”（刘徽）——正24边形?割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。正6边形正12边形面积，无限靠近圆面积.并且随着n的无限增大，多边形的面积An将基本思想是用内接正边形的面积An来近似圆
前面两个古代事例都有一种共同点就是出现了“无限靠近”这个思想，这正是极限概念的原始面貌。极限概念是由于求某些问题的精确答案而产生的。杖棰问题和割圆术使用的都是极限论的办法。第一种是杖棰剩余问题，看作一系列变化着的剩余趋向于一种拟定量的问题。而第二个则是把一种固定不变的量看作是一系列变化着的多边形面积的趋向，从而拟定出面积的大小。
无论是杖棰的剩余长度，还是正多边形的面积，都能够看作是有关n的一种数列{xn}，而这个数列中的项随着n增加产生一种什么样的变化过程则是大家最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型。
圆的内接正多边形面积构成一列有序数(数列)A1,A2,A3,…,An,….这一数列中的各项An虽都不是圆面积A，但含有以下特点：当n越大时，An作为圆面积的A近似值就越精确，但不管n获得如何大，只要取定了n，An终究只是A的含有某种精确度的近似值而非精确值。为求A的精确值只有让n无限增大，而当n??时，就有An?A.4数列收敛性的概念
对于普通的数列{xn}，总会出现两种情形：当n??时，xn?a，当n??时，xn不趋于任何拟定的数。例如：
数列收敛的描述性定义设有数列{xn}，如果当n无限增大时，xn无限接近于一种常数a，则称当n无限增大时，数列{xn}的极限为a或数列{xn}收敛于a，常数a称为数列{xn}的极限，记作或xn?a,(n??).如果当n无限增大时，xn不趋向于任何常数，就称数列{xn}的极限不存在或数列发散。
例：试由定义鉴别下列数列的敛散性由定义鉴别数列的敛散性普通是通过观察法考察给定数列的通项与否趋向于一种拟定常数。由于当n??时，，故该数列收敛，且极限为0.考察数列通项的变化趋势解
逐项写出该数列各项有1,-1,…,(-1)n-1,…，易见当n??时，xn始终在1和-1之间交替取值,它不可能趋于一种拟定数，故该数列发散。逐项写出该数列各项有可见当n??时，xn趋于0，故该数列收敛，其极限为0.
(1)精确体现数列极限的必要性微积分发展早期，人们往往从实际出发考虑问题，不太重视基础理论。随着研究的进一步和应用的广泛，出现了越来越多的含混和悖论，使得数学的发展又一次遇到令人不安的危机，产生这种危机的根本因素是极限理论问题。于是科学家们在完毕了微积分基本理
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