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第1讲牛吃草问题（一）

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【知识要点】

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世

纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题

的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛

吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃

这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是

天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不同而不

断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本关系式，分别是：

设定一头牛一天吃草量为“1”

1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的

较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

2）原有草量＝（牛头数－草的生长速度）×吃的天数；

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

【典型例题】

例1、一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长.这片牧场可供10头牛吃

20天，可供15头牛吃10天.问：这块牧场可供25头牛吃多少天？

解：设每头牛每天吃1份草

（1）每天新长出的草有几份？

（10×20-15×10）÷（20-10）=5份/天

（2）原有的草量有几份？

（10-5）×20=100份

或者（15-5）×10=100份

（3）每天25头牛中若有(5)头牛去吃新生草，其它牛吃原来的草，全部牧

草可吃几天。

100÷（25-5）=5天

例2、林子里猴子喜欢吃野果，23只猴子可在9周内吃光林子里的野果，

21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则几周后猴子就

要开始饿肚子了？（假定野果生长的速度不变）

解：假设一只猴子一周吃一份野果

野果的生长速度：（21×12-23×9）÷（12-9）=15份/周

林子里的原有野果量：（23-15）×9=72份或者（21-15）×12=72份

72×（33-15）=4周

例3、现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10

天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样

的抽水机来抽水？

解：设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：

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（6×20-8×10）÷（20-10）=4单位，池塘中原有水量：6×20-4×20=40单位。

若要5天内抽干水，需要抽水机40÷5+4=12台。

例4、一块牧草，每天匀速生长，现在这块草可供12头牛吃20天，或者可供60

头羊吃15天。如果4只羊的每天吃的草只够一头牛吃一天，那么8头牛和40

只羊一起吃可以吃多少天？

解：设一头羊每天吃1份草

草的生长速度为：（12×4×20-60×15）÷（20-15）=12份/天

原有草量：（60-12）×15=720份

720÷（8×4+40-12）=12天

例5、假设地球上每年新生成的资源的量是一定的，据测算，地球上的全部资源

可供110亿人生活90年而耗尽，或者可供90亿人生活210年而耗尽。世界总人

口必须控制在几亿以内，才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去？

解：假设地球上每年新生1份资源

资源新生速