专题36一次函数中的将军饮马问题(原卷版+解析).docxVIP

专题36一次函数中的将军饮马问题

【模型展示】

特点

在直线上求一点，使最短

将对称到，连接，与的交点即为点

结论

两点之间，线段最短

【模型证明】

解决方案

1、在直线上分别求点，使周长最小

分别将点关于两直线对称到，连接与两直线交点即为

两点之间，线段最短

2、在直线上分别求点，使四边形周长最小

将分别对称到，连接与直线的交点即为

两点之间，线段最短

3、在直线上求两点（在左），使得，并使最短

将向右平移个单位到，对称到，连接与交点即为，左平移个单位即为

两点之间，线段最短

4、在直线上求点，使最大

将点对称到，作直线与的交点即为点

三角形任意两边之差小于第三边

【题型演练】

一、填空题

1．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是___；当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是___．

2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为________.

3．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为________．

二、解答题

4．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）直线和双曲线交于点，．

(1)求，，的值；

(2)在坐标轴上有一点，使的值最小，直接写出点的坐标．

5．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）如图，一次函数y＝kx﹣6过点A（﹣2，﹣2），与y轴交于点B．

(1)求一次函数表达式及点B坐标；

(2)在x轴上找一点C，连接BC，AC．当BC＋AC最小时，

①请直接写出点C的坐标为______；

②请直接写出直线BC的函数表达式为______；

③在坐标轴上找点D，连接BD，CD，使S△ABC＝S△BCD，请直接写出点D的坐标为_____．

6．（2020·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期中）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．

（1）画出△ABC关于直线MN对称的．

（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．

（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）

7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请在横线上补充其推理过程或理由．

解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，连接PB′

∵∠ACB＝90°（已知）

∴（垂直的定义）

∴PB＝（线段垂直平分线的性质）

∴PB+PD＝PB′+PD（等式性质）

∴过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′，

在△ABC和△AB′C中，

∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB′＝90°，∴△ABC≌△AB′C（理由：）

∴S△ABB′＝S△ABC+＝2S△ABC（全等三角形面积相等）

∵S△ABB′＝AB﹒BD＝×10×B′D＝5B′D

又∵S△ABB′=2S△ABC＝2×BC﹒AC＝2××6×8＝48

∴（同一三角形面积相等）

∴B′D＝

∴

8．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

（1）求边AB的长；

（2）求点C，D的坐标；

（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2021·全国·九年级专题练习）作图探究：如图，点P是直角坐标系xOy第三象限内一点．

（1）尺规作图：请在图中作出经过O、P两点且圆心在x轴的⊙M；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若点P的坐标为（﹣4，﹣2）．

①请求出⊙M的半径；

②填空：若Q是⊙M上的点，且∠PMQ＝90°，则点Q的坐标为．

10．（2021·全国·九年级专题练习）如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处．

????????

（1）求点、的坐标；

（2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式；