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第一章、极限与连续

一、数列的极限

1.数列

定义：

按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数

X,K,X丄叫数列，记作x,并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项

!nn

或通项

界的概念：

XM0s.tXM

一个数列，若，对nN，都有，则称人是有界的：

n*n

若不论M有多大，总mN，s.txM，则称x是无界的

*mn

若axb，则a称为xbx

nn的下界，称为n的上界

X有界的充要条件：x既有上界，又有下界

nn

2.数列极限的概念

定义：

设X为一个数列，a为一个常数，若对0，总N,st当nN时，有

n

xa则称a是数列x的极限，记作limxa或xa(n)

nnnn

n

数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的

几何意义：

从第N1项开始，x的所有项全部落在点a的邻域(a,a)

n

3.数列极限的性质

①唯一性②收敛必有界③保号性：极限大小关系

数列大小关系(nN时)

二、函数的极限

1.定义：两种情形

①xX:设f(x)在点X处的某去心邻域内有定义，A为常数，若对0，

oo

0s.t0xxf(x)A

，当时，恒有成立，则称f(x)在xx时有

00

极限A

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limf(x)A

或f(x)A(xx)

°

XX

0

00s.t0XX

几何意义：对