第01讲 等差数列-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（人教A版）（学生版）_1.doc

第01讲等差数列及前n项和

【学习目标】

1．了解等差数列的概念及特征；

2.掌握等差数列通项公式推导方法；

3.学会用逆向求和的方法推导等差数列的和通项公式；

4.能灵活运用等差数列的通项公式与和通项公式求解一般数列。

【基础知识】

1．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d__表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.

3．等差中项

如果A＝，那么A叫作a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．

5．等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋n.

数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．

7．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最__大__值；若a10，d0，则Sn存在最__小__值．

难点正本疑点清源

1．等差数列的判断方法

(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.

2．等差数列与等差数列各项和的有关性质

(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.

(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(3)S2n－1＝(2n－1)an.

(4)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.

若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．

3．等差数列与函数

在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为eq\f(d,2)，且常数项为0.

【考点剖析】

考点一等差数列基本量的运算

1．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()

A．－12 B．－10

C．10 D．12

【答案】B

【解析】设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.

2．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()

A．1 B．2

C．4 D．8

【答案】C

【解析】设等差数列{an}的公差为d，

则由得

即解得d＝4.

3．(2021·西安质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则S20＝()

A．420 B．340

C．－420 D．－340

【答案】D

【解析】设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12，得d＝±2，由a1＞0，a2＝0，可知d＜0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋×(－2)＝－340.

4．(2021·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则()

A．S4＜S3 B．S4＝S3

C．S4＞S1 D．S4＝S1

【答案】B

【解析】设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得解得于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S4＝S3，S4＜S1，故选B.

考点二：等差数列的判定与证明

例1．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.

(1)求证：成等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

【解析】(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，

得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，

因为Sn≠0，所以－＝2，

又＝＝2，

故是首项为2，公差为2的等差数列．

(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝.

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝－＝

当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝

【变式发散】