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2020-2021备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附详细答案--第1页
2020-2021备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附详细答案
一、相似
1.如图,在等腰Rt△ABC中,O为斜边AC的中点,连接BO,以AB为斜边向三角内部作
Rt△ABE,且∠AEB=90°,连接EO.求证:
(1)∠OAE=∠OBE;
(2)AE=BE+OE.
【答案】(1)证明:在等腰Rt△ABC中,O为斜边AC的中点,
∴OB⊥AC,
∴∠AOB=90°,
∵∠AEB=90°,
∴A,B,E,O四点共圆,
∴∠OAE=∠OBE
(2)证明:在AE上截取EF=BE,
则△EFB是等腰直角三角形,
∴,∠FBE=45°,
∵在等腰Rt△ABC中,O为斜边AC的中点,
∴∠ABO=45°,
∴∠ABF=∠OBE,
∵,
∴,
∴△ABF∽△BOE,
2020-2021备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附详细答案--第1页
2020-2021备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附详细答案--第2页
∴=,
∴AF=OE,
∵AE=AF+EF,
∴AE=BE+OE.
【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质,可证得∠AOB=∠AEB=90°,可得出
A,B,E,O四点共圆,再利用同弧所对的圆周角相等,可证得结论。
(2)在AE上截取EF=BE,易证△EFB是等腰直角三角形,可得出BF与BE的比值为,
再证明∠ABF=∠OBE,AB与BO的比值为,就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比
例,然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似,可证得△ABF∽△BOE,可证
得AF=OE,由AE=AF+EF,可证得结论。
2.在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,M是AD边的中点,P是AB边上的一个动点(不与
A、B重合),PM的延长线交射线CD于Q点,MN⊥PQ交射线BC于N点。
(1)若点N在BC之间时,如图:
①求证:∠NPQ=∠PQN;
②请问是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是,请举反例说明;
(2)当△PBN与△NCQ的面积相等时,求AP的值.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=∠ADQ=90°,
AB//CD,∴∠APM=∠DQM,∵M是AD边的中点,∴AM=DM,
在△APM和△DQM中,,∴△APM≌△DQM(AAS),∴PM=QM,
∵MN⊥PQ,∴MN是线段PQ的垂直平分线,∴PN=QN,∴∠NPQ=∠PQN
②是定值
理由:如图,过点M作ME⊥BC于点E,
∴∠MEN=∠MEB=∠AME=90°,
2020-2021备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附详细答案--第2页
2020-2021备战中考数学培优专题复习圆与相似练习题附详细答案--第3页
∴四边形ABEM是矩形,∠MEN=∠MAP,∴AB=EM,
∵MN⊥PQ,∴∠PMN=90°,∴∠PMN=∠AME,
∴∠PMN-∠PME=∠AME-∠PME,∴∠EMN=∠AMP,∴△AMP∽△EMN,
∴,∴,∵
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