2024年成考专升本高等数学重点及解析汇报.doc

高等数学（二）重点知识及解析

Ⅰ、函数、极限

一、基本初等函数(又称简朴函数)：

（1）常值函数：（2）幂函数：（3）指数函数：(〉0,

（4）对数函数：(〉0,

（5）三角函数：，，，

（6）反三角函数：，，，

二、复合函数：要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的。

例如：是由，这两个个简朴函数复合而成.

例如：是由，和这三个简朴函数复合而成.

该部分是背面求导的关键！

三、极限的计算

1、运用函数持续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（既非未定式），只要将代入到函数体現式中，函数值既是极限值，既。

注意：（1）常数极限等于他自身，与自变量的变化趋势无关，既。

（2）该措施的使用前提是当的時候，而時则不能用此措施。

例1：，，，，

例2：

例3：（非特殊角的三角函数值不用计算出来）

2、未定式极限的运算法

（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值既是极限值。

例1：计算.………未定式，提取公因式

解：原式=

例2：计算.………未定式，提取公因式

解：原式===

（2）对于未定式：分子、分母同步除以未知量的最高次幂，然后运用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。

例1：计算………未定式，分子分母同步除以n

解：原式………无穷大倒数是无穷小

例2：计算.………未定式，分子分母同除以

解：原式==………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2

3、运用等价无穷小的代换求极限

（1）定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，假如=1，称与是等价无穷小，记作～.

（2）定理：设、、、均為无穷小，又～，～，且存在

则=或

（3）常用的等价无穷小代换：当時，～,～

例1：当時，～2，～

例2：极限===………用2等价代换

例3：极限==………用等价代换

Ⅱ、一元函数的微分学

一、导数的表达符号

（1）函数在点处的导数记作：

，或

（2）函数在区间（a,b）的导数记作：

，或

二、求导公式（必须熟记）

（1）（C為常数）（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

例：1、=2、3、=

4、5、6、

三、导数的四则运算

运算公式（设U，V是有关X的函数，求解時把已知題目中的函数代入公式中的U和V既可，代入后用导数公式求解.）

（1）

（2）尤其地（為常数）

（3）

例1：已知函数，求.

解：===

例2：已知函数，求和.

解：===

因此=（注意：lne=1,ln1=0）

例3：已知函数，求.

解：===

四、复合函数的求导

1、方法一：

例如求复合函数的导数.

（1）首先判断该复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的.

如由和这两个简朴函数复合而成

（2）用导数公式求出每个简朴函数的导数.

既=，=2

（3）每个简朴函数导数的乘积既為复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.

∴=2=2

2、方法二（直接求导法）：

复合函数的导数等于构成该复合函数的简朴函数导数的乘积。假如对导数公式熟悉，对复合函数的过程清晰，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.

例1：设函数，求.

解：==·=·=

例2：设函数，求.

解：==·=

注意：一种复合函数求几次导，取决于它由几种简朴函数复合而成。

五、高阶导数

1、二阶导数记作：，或

我們把二阶和二阶以上的导数称為高阶导数.

2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导

（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导

例1：已知，求.

解：∵=，∴=

例2：已知，求.

解：∵==，∴=2=4

既=

六、微分的求法：

（1）求出函数的导数.

（2）再乘以既可.既.

例1：已知，求.

解：∵====

∴=

例2：设函数，求.

解：∵==

∴=

Ⅲ、二元函数的微分学

一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称為多元函数。其自变量的变化围称為定义域，一般记作。

例如：二元函数一般记作：，

二、二元函数的偏导数

1、偏导数的表达措施：

（1）设二元函数，则函数在区域D对和对的偏导数记為：

，，；