高一下学期第一次月考数学试卷（基础篇）（解析版）_1.docx

2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（基础篇）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）（2023上·北京海淀·高三校考阶段练习）复数-3i+1

A．1 B．-1 C．3 D．

【解题思路】根据复数的虚部的定义即可得解.

【解答过程】复数-3i+1

故选：D.

2．（5分）（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a≠b，则a≠b

A．1 B．2 C．3 D．4

【解题思路】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.

【解答过程】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；

对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；

对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；

对于④，若a≠b，可能只是方向不相同，但模长相等，故④

故选：A.

3．（5分）（2023上·北京·高三校考阶段练习）在复平面内，复数z对应的点的坐标是1,-3，则z的共轭复数z

A．1-3?i

C．-1+3?

【解题思路】根据复数z对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可.

【解答过程】因为复数z对应的点的坐标是1,-3

所以z=1-3?

故选：B.

4．（5分）（2023下·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知向量a=-1,2,b=1,-2

A．1 B．0 C．43 D．

【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示，再利用共线向量的坐标表示求解即得.

【解答过程】向量a=-1,2

由a//(a-b)

所以实数λ的值为1.

故选：A.

5．（5分）（2023上·河南南阳·高三南阳中学期末）若-12+32i是关于x的实系数方程ax

A．15-35i B．15

【解题思路】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出a、b，再由复数的运算和共轭复数可得结果．

【解答过程】若-12+32

则另一个复数根为-1

由韦达定理可得得-12+

则z=1+i，所以

故有z1+

故选：A．

6．（5分）（2023上·江苏南通·高三校考阶段练习）已知非零向量a,b满足b=23a，且a⊥3

A．π6 B．π3 C．2π

【解题思路】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.

【解答过程】解：因为a⊥(3

所以a?

设a与b的夹角为θ，

所以cosθ

所以θ=

故选：D.

7．（5分）（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD=1，BC=DC=3，AC=2，点

A．2116 B．218 C．2132

【解题思路】方法一：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算律将问题转化为二次函数形式求向量数量积的最值；

方法二：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后建立平面直角坐标系，将问题转化为向量数量积的坐标表示，得出二次函数，最后利用二次函数性质求出向量数量积的最值即可；

方法三：同方法二一样，但是选择另外的边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，将问题转化为平面向量坐标形式求解即可；

【解答过程】解法一??由AB=AD=1，BC

得AC2=

所以AB⊥BC，

∠DAC

设DP=x，则

AP

=

=1×1×

=x

当且仅当x=34时，AP

解法二：由AB=AD=1，BC

得AC2=

所以AB⊥BC，

∠DAC=∠BAC

连接BD，交AC于点O，则易知BD⊥

建立如图所示的平面直角坐标系xOy，

则A-12,0，B0,-

所以DC=

设DP=

则DP=

所以P3

AP=12

则AP

=3λ

当且仅当λ=14时，AP

解法三??由AB=AD=1，BC

得AC2=

所以AB⊥BC，

∠DAC=∠BAC

如图，

分别以DA,DC所在的直线为x轴、

所以A1,0，B

因为点P在边CD上，

所以设P0,

所以AP=-1,

所以AP

=y

当且仅当y=34时，AP

故选：A.

8．（5分）（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，b=1且cosB=2cosA

A．1 B．32 C．22 D

【解题思路】根据同角平方和关系可得sinB=55，进而利用诱导公式即可得A

【解答过程】方法1：因为a=2b，所以

又cosB=2cos

由于B∈0,π，解得sin

由cosB=2cosA可得B,

所以A+B=π2

方法2：因为a=2b，所以sinA=2sin

所以2sinAcos

因为a≠b，故A≠B

所以2A

则A+B=π2

故选：A.

二．多选题（共4小题，满分20分，每小