2023-2024学年上海市高二上学期开学考数学试卷（测试范围：空间直线与平面、简单几何体,三角函数与解三角形,平面向量, 函数）（原卷版）_1.docx

2023-2024学年上海市高二上学期开学考数学试卷

测试范围：空间直线与平面、简单几何体,三角函数与解三角形,平面向量,函数

一、填空题

1．已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量为______

2．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的体积为______．

3．已知，则________.

4．已知中，，，其中是垂直的单位向量，则的面积为________.

5．已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小为______．

6．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_______米.

7．已知某实心几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为_________．

8．给出下列结论：

①一条直线垂直于一个平面，则这条直线就和这个平面内的任何直线垂直；

②过平面外一点有只有一个平面和这个平面垂直；

③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；

④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．

其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）

9．已知平面向量、满足，则的取值范围是______

10．在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于______

11．如图，在四棱锥中，已知底面，，，，则点到平面的距离为______．

12．在底面是边长为的正方形的四棱锥中，顶点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则________．

二、单选题

13．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，，，则三棱锥的体积是（????）

A． B． C． D．

14．如图，已知三棱柱的体积为90，则四面体的体积为（????）

A．20 B．30 C．45 D．60

15．已知两个平面和三条直线,若,且,设和所成的一个二面角的大小为,直线和平面所成的角的大小为,直线所成的角的大小为,则（????）

A． B．

C． D．

16．如图，在四面体中，若二面角为，平面内一条动直线，记与平面所成角为，则（????）

A． B．

C． D．

三、解答题

17．某地实行垃圾分类后，政府决定为、、三个小区建造一座垃圾处理站，集中处理三个小区的湿垃圾，已知在的正西方向，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的北偏西方向，小区与相距，与相距．

(1)求垃圾处理站与小区之间的距离；

(2)假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里元（其中为满足是内的正整数），现有两种运输湿垃圾的方案：

方案1：只用一辆大车运输，从出发，依次经过、、再由返回到；

方案2：先用两辆小车分别从、运送到，然后并各自返回到、，一辆大车从直接到再返回到．试比较哪种方案更合算？请说明理由．（本大题结果精确到小数点后两位）

（参考数据：，，）

18．如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．

求证：；

若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．

19．如图，在直三棱柱中，，，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求点到平面的距离．

20．如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.

（1）求与底面所成角的大小；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值.

21．如图所示，已知三棱台中，，，，，.

??

(1)求二面角的余弦值；

(2)设分别是棱的中点，若平面，求棱台的体积.

参考公式：台体的体积公式为.