2022上海市初三数学一模(25题)压轴题精解精析(二)解析版 .pdfVIP

2022上海市初三数学一模(25题)压轴题精解精析(二)解析版--第1页

例2022年上海市宝山区第25题

如图1，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜90）到AP的位置，

分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为E、F．

（1）求证：CE＝EF；

DP1

（2）联结CF，如果，求∠ABP的正切值；

CF3

2

（3）联结AF，如果AFAB，求n的值．

2

图1

满分解答

（1）如图2，过点F作DC的平行线交EC于点M，所以∠FME＝∠DCE．

已知CE⊥BP，DF⊥BP，所以CE//DF．

所以四边形CDFM是平行四边形．所以FM＝DC＝CB．

根据同角的余角相等，得∠DCE＝∠CBE．所以∠FME＝∠CBE．

于是根据“AAS”，可证得△FME≌△CBE．所以EF＝EC．

图2图3图4

（2）如图3，设BP与AD交于点G．设∠ABP＝α．

在等腰三角形ABP中，AB＝AP，所以∠APB＝α．

在Rt△ABG和Rt△DFG中，根据内角和相等，得∠ADF＝α．

在等腰三角形ADP中，∠ADP＝∠APD．

所以∠ADP－α＝∠APD－α．所以∠FDP＝∠FPD．所以FD＝FP．

所以△FDP和△ECF都是等腰直角三角形，DP//CE（如图4所示）．

如图4，延长CD交BP的延长线于点N．那么∠N＝α．

DP1PF12mNP1NP1m

如果，那么，．所以．

CF3FE36mNF3PF22m

CE6m22

在Rt△NEC中，tan∠N＝．所以tan∠ABP＝．

NE6m2mm33

（3）第一步，点F是一个关键点．

如图5，根据“边边边”，可以证得△AFD≌△AFP．

所以AF平分∠DAP，∠AFD＝∠AFP＝135°．所以∠AFB＝45°．

所以∠AFC＝90°，△AFC始终是直角三角形（如图6所示）．

第二步，计算说理．

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如图6，因为ABAC，如果AFAB，那