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小升初数学——牛吃草问题

教学目标：

1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.

2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

知识点拨：

英国的著名物理学家牛顿曾编出过这样的一道题：农场上有一片青春，每天都生长的一样快。这

片青草供给10头牛吃，可以吃22天，供给16头牛吃，可以吃10天，期间草一直生长。如果供给

25头牛吃，可以吃多少天？这个问题因牛顿提出得名，叫牛顿问题。人们也把这类问题称作牛吃草

问题或者是消长问题。

解决这类问题的关键是要从变化中找到不变量。需要考虑的是在牛吃草过程中，草是不断变化的

（或增长或减少）。但是农场上原有草量是不变的，每天变化的（增长或减少）草量也是不变的。根

据这些不变量，我们推出牛吃草问题的四个基本公式。

1.草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多的天数-相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较

多天数-吃的较少天数）

2.原有草量=牛头数×吃的天数-草的增长速度×吃的天数

3.吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的增长速度）

4.牛头数=原有草量÷吃的天数+草的增长速度

解题步骤：

求出每天的草的变化量

求出农场原有草量

求出每天实际消耗的原有草量

求出牛可吃的天数

例1、牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完．假定草的生长速度不变，那

么供19头牛需要几周吃完？

解：设1头牛吃一周的草量的为一份．

（1）24头牛吃6周的草量24×6=144（份）

（2）18头牛吃10周的草量18×10=180（份）

（3）（10-6）周新长的草量180-144=36（份）

（4）每周新长的草量36÷（10-6）=9（份）

（5）原有草量24×6-9×6=90（份）

（6）全部牧草吃完所用时间不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的10头牛吃原有草

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量，有90÷（19-9）=9（周）

答：供19头牛吃9周．

例2、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把

草吃完？

解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把

草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按

以下步骤解答：

（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20

天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天内生长量

同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量

由此可知（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50

因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5

（2）求原有草量

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100

（3）求5天内草总量

5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125

（4）求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）

答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例3、画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如

果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个

观众到达的时间？

解答：设每一个入场口每分钟通过1份人，摘录条件，

将它们转化为如下形式方便分析

3个入场口9分钟3×9＝27：原有人＋9分钟来的人