2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编（四）（解析版）.docx

2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编04

1.(广东省五校2023-2024学年高三10月联考(二)数学试题)设函数f(x(=若方程f(x(

=x+b有3个不同的实根，则b的取值范围为()

A.(-∞,-1(B.(-1,0(C.(0,1(D.(1,+∞(

【答案】A

令g(x(=f(x(-x=

方程f(x(=x+b有3个不同的实根等价于g(x(与y=b有3个不同的交点；

当x0时，g’(x(=-1=，

则当x∈(0,1(时，g’(x(0；当x∈(1,+∞(时，g’(x(0；

∴g(x(在(0,1(上单调递增，在(1,+∞(上单调递减，∴g(x(max=g(1(=-1；则可得g(x(图象如下图所示，

由图象可知：当b-1时，g(x(与y=b有3个不同的交点；综上所述：实数b的取值范围为(-∞,-1(.

故选：A.

2.(广东省七校2024届高三第二次联考数学试卷)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=，AB=

AD=AA1=2，点Q在侧面DCC1D1内，且A1Q=、7，则点Q轨迹的长度为()

A.B.C.D.

【答案】C【解析】

如图所示，过点A1作A1E⊥C1D1，过点E作EE1⊥CD，

因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以DD1⊥平面A1B1C1D1，因为A1E?平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1E，

又因为A1E⊥C1D1，DD1∩C1D1=D1，DD1?平面DCC1D1，D1C1?平面DCC1D1，所以A1E⊥平面DCC1D1，

因为直线EQ?平面DCC1D1，所以A1E⊥EQ，

因为∠BAD=，AB=AD=AA1=2，

1

1

所以A1E=2×

又因为A1Q=、7，

所以EQ=7-3=2，

因为点Q在侧面DCC1D1内，

所以在平面直角坐标系中来研究点Q轨迹的长度，如图所示：

点Q的运动轨迹为以点E为圆心、半径为2的圆在正方形CDD1C1内部的弧，

显然ED1=2×=1，OF=2，所以∠FOG=，

所以故选：C.

3.(广东省七校2024届高三第二次联考数学公众号：慧博高中数学题库试卷)已知a0，f(x(=(aex-ln(x+b(，当x0时，

公众号：慧博高中数学题库

f(x(≥0，则a(1-b(3的最大值为()

A.B.C.D.

eeee

【答案】D

【解析】因为a0，所以y=aex-在(0,+∞(为增函数，由y=aex与y=图象知，y=aex-在

(0,+∞(有唯一的零点x0，

若b≥1，则y=ln(x+b(0在(0,+∞(恒成立，与f(x(≥0矛盾，故b1.

显然f(x(=(aex-(ln(x+b(的定义域为{x|-b〈x且x〈0{，且f(1-b(=0因为a0，所以y=aex-,y=ln(x+b(均在(-b,+∞(单调递增，

所以当x∈(-b,1-b(时，ln(x+b(0，因为f(x(≥0，所以aex-0；当x∈(1-b,+∞(时，ln(x+b(0，因为f(x(≥0，所以aex-0，

2

2

所以当x=1-b时，aex-=0,ln(x+b(=0，即ae1-b--