北京市顺义区第一中学2024届高三上学期期中数学 Word版无答案.docx

2023—2024顺义一中高三第一学期期中考试

数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共50分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合，则（）

A. B.

C D.

2.在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（）

A. B.

C. D.

3.已知圆的圆心坐标为，且点在圆上，则圆的方程为（）

A. B.

C. D.

4.已知平面向量，，，若，则（）

A. B. C. D.

5.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

6.金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（）

A.1 B. C. D.

7.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）

A.1 B. C. D.

8.已知函数，则（）

A.在单调递增，且图象关于直线对称

B.在单调递增，且图象关于直线对称

C.在单调递减，且图象关于直线对称

D.在单调递减，且图象关于直线对称

9.若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（）

A. B.

C D.

10.如图，在边长为2正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论：

①；

②面积的最小值是；

③只存在唯一的点，使平面；

④当时，平面平面.

其中正确结论的个数是（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

11.已知函数，则______.

12.已知直线：，：，若∥，则的值是________．

13.已知命题：若为第一象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是__________，__________.

14.数列共9项，该数列前3项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则__________，数列的所有项的和为__________.

15.已知曲线的方程为：有下列四种描述

（1）曲线关于对称；

（2）曲线的面积大于16；

（3）曲线与圆有四个公共点；

（4）若，为曲线与轴的交点，为曲线上的点，则的面积最大为；则其中所有正确结论的序号是__________.

三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.已知满足，且，，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知填在横线上，并求解下列问题：

（1）；

（2）求的面积.

条件①tanA=3，条件：②，条件③

17.为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动，活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段公组记录如下表：

组别

男生

女生

合格

不合格

合格

不合格

第一组

90

10

80

20

第二组

88

12

72

28

第三组

60

40

58

42

第四组

80

20

62

38

第五组

82

18

78

22

合计

400

100

350

150

假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立.

（1）从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率；

（2）从该地区众多中小学的男生?女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分布列与数学期望；

（3）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“”表示第k组同学跳绳成绩合格，“”表示第k组同学跳绳成绩不合格()，试确定方差中哪个最大？哪个最小？(只需写出结论).

18.已知圆，直线与圆交于，两点.

（1）若，求实数的值；

（2）求的取值范围（为坐标原点）.

19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点．

（1）求证：；

（2）当点为线段的中点时，求点到平面的距离；

（3）是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

20.已知函数.

（I）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求实数a的取值范围.

21.已知数集.如果对任意的i，j(且)，与两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.

（1）分别判断数集是否具有性质P，并说明理由：

（2）设数集具有性质P.

①若，证明：对任意都有是的因数；

②证明：.