2024—2025学年云南省昆明仁泽中学高二上学期9月月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年云南省昆明仁泽中学高二上学期9月月考数学试卷

一、单选题

(★★)1.若集合，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

(★)3.已知，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.设函数，则满足的的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（）

A．

B．出现的点数为6

C．事件A与B互斥

D．事件A与B是对立事件

(★★★)6.点P在直线上运动，，则的最大值是（）

A．

B．

C．3

D．4

(★★)7.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，则该四棱锥外接球的体积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)8.已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（）

A．

B．

C．4

D．5

二、多选题

(★★★)9.已知函数，则（）

A．的最小正周期为

B．的图象关于直线对称

C．将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称

D．在区间上单调递增

(★★★)10.在棱长为2的正方体中，点分别是线段，线段，线段上的动点（包含端点），且．则下列说法正确的有（）

A．平面

B．异面直线与所成的最大角为

C．三棱锥的体积为定值

D．当四棱锥的体积最大时，该四棱锥外接球的表面积为

(★★★★)11.已知定义在上的奇函数，其周期为4，当时，，则（）

A．

B．的值域为

C．在上单调递增

D．在上有9个零点

三、填空题

(★★)12.已知幂函数的图象经过点，求_________．

(★★)13.对任意的实数，直线所过的定点为__________．

(★★★)14.定义向量在基下的坐标如下：若，则叫作在基下的坐标．已知向量在基下的坐标为，则在基下的坐标为__________，在基下的坐标为__________．

四、解答题

(★★★)15.如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.

(1)求证：平面；

(2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.

(★★★)16.某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值.

(2)求样本数据的第62百分位数.

(3)已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差.

(★★★)17.已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，

(1)求三角形面积取最小值时直线的方程；

(2)求取最小值时直线的方程．

(★★★)18.如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离.

(★★★★★)19.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，.

(1)求角A；

(2)若，求bc的值；

(3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围.