2025年高中数学课后定时检测试卷(带答案)67　圆锥曲线中的证明与探索性问题.docx

课后定时检测案67圆锥曲线中的证明与探索性问题

1．[2024·河南许昌模拟]双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作与x轴垂直的直线交双曲线C于A，B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2＝2px(p0)以双曲线C的右顶点为焦点．

(1)求抛物线E的方程；

(2)如图，点P(－eq\f(p,2)，t)(t≠0)为抛物线E的准线上一点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．

2．[2024·河北秦皇岛模拟]已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的离心率为eq\f(\r(6),2)，点A(6，4)在C上．

(1)求双曲线C的方程；

(2)设过点B(1，0)的直线l与双曲线C交于D，E两点，问在x轴上是否存在定点P，使得eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PE,\s\up6(→))为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由．

3．[2022·新高考Ⅱ卷]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1x20，y10.过P且斜率为－eq\r(3)的直线与过Q且斜率为eq\r(3)的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

优生选做题

4．[2024·山东青岛模拟]已知椭圆E1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B1A2B2的内切圆的面积为eq\f(5π,6)，其离心率e＝eq\f(2\r(5),5)；抛物线E2：y2＝2px(p0)的焦点与椭圆E1的右焦点重合．斜率为k的直线l过抛物线E2的焦点且与椭圆E1交于A，B两点，与抛物线E2交于C，D两点．

(1)求椭圆E1及抛物线E2的方程；

(2)是否存在常数λ，使得eq\f(1,|AB|)＋eq\f(λ,|CD|)为一个与k无关的常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．