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范德蒙行列式的历史回顾与应用

摘要：行列式是高等代数的重要内容之一，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。n级范德蒙行列式是著名的行列式，它有广泛的应用，证明过程是行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文将通过对n级范德蒙行列式的历史发展进程与范德蒙行列式和类似范德蒙行列式的计算方法，讨论它的各种位置变化规律,介绍如何将类似范德蒙行列转换构造为标准的范德蒙行列式，并通过行列式的性质及定理，行列式的乘法规则，和行列式的加边法，来计算此类行列式，由此让人们能较为深入地了解到范德蒙行列式的魅力所在，同时也提高了分析、归纳与总结相关内容的能力，掌握解决此类问题的方法与技巧。

关键词：行列式，范德蒙行列式，行列式的性质，乘法规则，加边法，拉普拉斯定理，子式，代数余子式，克莱姆法则，重根，充要条件，线性方程组。

1.引言

行列式

称为n级的范德蒙行列式。（见文献[1]）

我们来证明，对任意的n（n≥2），n级范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差（1≤j＜i≤n）的乘积，即。

我们可以将范德蒙行列式或类似范德蒙行列式的行列式，用行列式的性质、乘法规则、加边法，计算出结果。

2.1.预备知识

性质1行列互换，行列式不变，即

。

在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。

性质2。

这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。

性质3

。

这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原来行列式的对应的行一样。

性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓相同就是说两行的对应元素都相等。

性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。

性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

全部在行列式之前，所以对n级范德蒙行列式结论成立。

综上所述，根据数学归纳法可知，范德蒙行列式等于结论成立，即

=。

由上述证明结果可知，范德蒙行列式为零的充要条件为这n个数中至少有两个数相等。

2.3.范德蒙行列式的历史发展进程

范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)，法国数学家，在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。

行列式出现于线性方程组的求解，是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1693年4月，莱布尼茨在一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

1750年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。

在范德蒙和拉普拉斯对以范德蒙行列式为主的行列式研究之后，又出现了一位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法，引进了行列式特征方程的术语，给出了相似行列式概念，改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明。

2.4范德蒙行列式的性质

由行列式的性质可推出下列范德蒙行列式的性质：

1.若将范德蒙行列式逆时针旋转90°，得到

==。

若将范德蒙行列式顺时针旋转90°，得到

==。

若将范德蒙行列式旋转180°，得到

==。

2.5范德蒙行列式在计算中的应用

用行列式的性质计算范德蒙行列式

例1.文献[2]中有一例题，计算n+1阶行列式

=。

分析：可以根据范德蒙行列式的性质3将上述行列式转换为标准范德蒙行列式，可以计算出结果。

∵不知道n是奇数还是偶数

∴不能将第1行与第n+1行对换，将第2行与第n行对换

∴采用将第n+1行与上面各行进行两两对换，把它换到第1行，共经过n次对换，

再将第n行与上面各行进行两两对换，把它换到第2行，共经过（n-1）次对换，

…依次进行两两对换，直到第2行进行依次对换，把它换到第n行

∴总共经过了次对换

∴再对列作类似变换，两次共=次对换