必考点10等边三角形的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上册精选专题(人教版)(原卷版+解析).docxVIP

必考点10等边三角形的性质与判定

●题型一等边三角形的性质

★★★1、解决求线段长问题

【例题1】（2021秋?信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（）

A．1 B．32 C．2

★★★2、解决求角度问题

【例题2】（2022?鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）

A．80° B．70° C．60° D．50°

【例题3】（2022春?大埔县期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，

AE＝CE，F为BC中点，连接AF．

（1）直接写出∠BAE的度数为；

（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．

★★★3、利用等边三角形的性质证明线段相等问题

【例题4】（2021秋?庄浪县期末）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．

【例题5】（2020秋?环江县期中）如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．

【解题技巧提炼】

等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

●题型二等边三角形的判定

【例题6】（2022春?嘉定区校级期末）下列条件中，不能说明△ABC为等边三角形的是（）

A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120°

C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC

【例题7】（2021秋?宁明县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且

DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．

【例题8】（2012?乐平市校级自主招生）如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．

【解题技巧提炼】

等边三角形的判定

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．

●题型三含30°角的直角三角形的性质的应用

【例题9】（2022春?坪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，交BA的延长线于点F，若AF＝2，则BF的长为．

【例题10】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．

【例题11】（2020秋?赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．

（1）求∠CAE的度数；

（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．

【解题技巧提炼】

（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．

（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．

●题型四等边三角形的性质与判定的综合应用

【例题12】（2022春?神木市期末）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．

（1）判断△CEF的形状，并说明理由；

（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．

【例题13】（2021秋?孝南区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．

（1）求证：△ABD是等边三角形；

（2）求证：BE＝AF．

【解题技巧提炼】

等边三