北师版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练71 证明、探究性问题.docVIP

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课时规范练71证明、探究性问题

1.已知椭圆C:x2a2+y2b

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)如图,过点P(0,6)的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问直线y=-6上是否存在一点N,使△ABN为正三角形?若存在,求出相应的直线l的方程;若不存在,请说明理由.

2.(甘肃定西模拟)已知点M到点F(0,32)的距离比它到直线y=-2的距离小12,记动点M

(1)求E的方程.

(2)若过点F的直线交E于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则在x轴的正半轴上是否存在点P,使得PA,PB分别交E于另外两点C,D,且AB=3CD?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

3.(新高考Ⅱ,21)设双曲线C:x2a2-y2b

(1)求C的方程;

(2)经过F的直线与C的渐近线分别交于A,B两点,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1x20,y10.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M,从下面三个条件①②③中选择两个条件,证明另一个条件成立:

①M在AB上;②PQ∥AB;③|AM|=|BM|.

4.(北京通州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设点A关于y轴的对称点为B,直线l与OA平行,且与椭圆C相交于M,N两点,直线AM,AN分别与y轴交于P,Q两点.求证:四边形APBQ为菱形.

课时规范练71证明、探究性问题

1.解(1)由题意知c=4,5a2+3b2=1,而a2=b2+c2,解得a2

(2)设直线l的方程为y=kx+6,A(x1,y1),B(x2,y2).

联立方程y=kx+6,x220+y

Δ=600k2-40(1+5k2)=400k2-400,即k1010或k-1010.于是x1+x2=-106k1+5k2,x1

设AB的中点为M,可得M(-56k1+5k2,61+5

∴|MN|=1+

当|MN|=32|AB|时,△ABN是正三角形.于是1+k256k2+261+5k2=32·

2.解(1)因为点M到点F(0,32)的距离比它到直线y=-2的距离小12,所以点M到点F(0,32)的距离等于它到直线y=-32的距离,则点M的轨迹为以F(0,32)

(2)假设存在满足题意的点P,设C(x3,y3),P(x0,0)(x00).

由AB=3CD,得AB∥CD,且|AB|=3|CD|,得PA=3PC,即(x1-x0,y1)=3(x3-x0,y3),所以x3=x1+2x03,y3=y13,代入抛物线方程x2=6y,得x1+2x032=6y3=2y1=x123,整理得x12-2x0x1-2x02=0,同理可得x22-2x0x2-2x02

由题意,直线AB的斜率一定存在,故设直线AB的方程为y=kx+32,与抛物线方程x2=6y联立消去y,可得x2-6kx-9=0,易得Δ0,可得x1+x2=6k,x1x2=-9.

由①②可得x0=322,k=

故在x轴的正半轴上存在一点P(322,0

3.解(1)由题意得ba=3,a2+

(2)设PQ的方程为y=kx+b(k≠0),

联立曲线C的方程可得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0,3-k2≠0,Δ0显然成立,

则x1+x2=2kb3-k2,x1

x1-x2=(

设点M(xM,yM),

则y

-,得y1-y2=23xM-3(x1+x2),而y1-y2=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2),

故23xM=k(x1-x2)+3(x1+=k

+,得2yM-(y1+y2)=3(x1-x2),而y1+y2=(kx1+b)+(kx2+b)=k(x1+=k(x1+x2)+3(x1-=3b2+3-k

若选择①②:

由条件②,知直线AB的方程为y=k(x-2).设A(xA,yA),B(xB,yB),

则yA=k(xA-2),yA=3xA,解得xA=2kk-3,yA=2

而点M的坐标满足yM=k(xM-2),y

若选择①③:

当直线AB的斜率不存在时,点M即为点F(2,0),此时M不在直线y=3k(x-2),m≠0,设A(xA,yA),B(xB,yB

则y

解得xA=2mm-3

同理可得xB=2mm+3

此时xM=xA+xB

由于点M同时在直线y=3k

故6mm2

因此PQ∥AB.

若选择②③:

由条件②,知直线AB的方程为y=k(x-2).设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA=k(xA-2),yA=3xA,解得xA=2kk-3,yA=2

由于|AM|=|MB|,故M在AB的垂直平分线上,即点M在直线y-yC=-1k(x-xC

将该方程与y=3k=2

故点M在直线AB上.

4.(1)解由题意可知a2=b2+c2

(2)证明点A(2,1)关于y轴的对称点为B(