第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系

课标解读

考向预测

1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.

2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

预计2025年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题或填空题的形式出现，为中、低档题.

必备知识——强基础

1．与平面有关的基本事实及推论

(1)与平面有关的三个基本事实

基本事实

内容

图形

符号

基本事实1

过eq\x(\s\up1(01))不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α

基本事实2

如果一条直线上的eq\x(\s\up1(02))两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α

基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条eq\x(\s\up1(03))过该点的公共直线

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

(2)基本事实1的三个推论

推论

内容

图形

作用

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

确定平面的依据

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线

直线与平面

平面与平面

平行关系

图形语言

符号语言

a∥b

a∥α

α∥β

相交关系

图形语言

符号语言

a∩b＝A

a∩α＝A

α∩β＝l

独有关系

图形语言

符号语言

a，b是异面直线

a?α

3.基本事实4和等角定理

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线eq\x(\s\up1(04))互相平行．

等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角eq\x(\s\up1(05))相等或互补．

4．异面直线所成的角

(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)范围：eq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．

1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．

1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()

(2)没有公共点的两条直线是异面直线．()

(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．()

答案(1)√(2)×(3)×

2．小题热身

(1)(人教A必修第二册习题8.4T3改编)下列说法正确的是()

A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面

B．和同一条直线异面的两条直线一定共面

C．与两异面直线分别相交的两条直线一定不平行

D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交

答案C

解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，而DD1与B1C1是异面直线，故B错误；如图2，直线AB与CD是异面直线，若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC?α，BD?α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB?α，CD?α，这与直线AB与CD是异面直线矛盾，则直线AC与BD一定不平行，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．故选C.

(2)(2023·四川绵阳中学诊断考试)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()

A．相交或平行 B．相交或异面

C．平行或异面 D．相交、平行或异面

答案D

解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.

(3)(2024·湖北荆州中学阶段考试)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是()

A．直线AC B．直线AB

C．直线CD D．直线BC

答案C

解析由题意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故选C.

(4)(2024·浙江杭州二中月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()