中学数学中的第三个数学绝世奇迹.docVIP

中学数学中的第三个数学绝世奇迹

中学数学中的第三个数学绝世奇迹

中学数学中的第三个数学绝世奇迹

中学数学中得第三个数学绝世奇迹

数学中得“帕巴拉神庙”(到底有多少个解法？）

用《分角定理》作出一题千解（一题千解，古今唯一）

２０1９年全国高中联赛加式题、已知：四边形AＢCＤ，对角线ＡC平分∠BAD,Ｆ为AC上一点,BF交DC于E,DF交BＣ于G。

求证：∠CAＧ=∠CAＥ(一)、

添线有多解。用《分角定理》，不添线,就能作出很多异想天开得解法。如何发现出来?图明示:有很多三角形及分角线、对顶角、互补角,可用《分角定理》,变出很多边角关系，进行代换。特别是解题实践体会,可能有千多个不同解法。都是不添线,只列一式。

《分角定理》：三角形中得一角被一直线内分（或外分），又分对边为两线段时，则：两线段之比等于与两对应分角正弦之正比乘以与两对应分角得两条不重合边之正比、还可转化出很多不同得表述。

如图、、△AＢC,AD内分∠BAC，则有：（BD/CD）=（sin∠BＡD/sｉｎ∠CＡD)·(ＡB/ＡC)。

△AＢD，AC外分∠BAD，则有:(BC／ＢD）＝(sin∠BAC/sin∠BAＤ）·(AC/AD)。

（解一）设AG交BF于H，AＥ交DF于Ｍ，又设∠CAG＝∠CAＥ=α(二)，∠CAG＝β∠CＡE＝γ,∠BAG=θ,∠DAE=φ。∠AFB=∠CＦＥ=∠1，∠BFG=∠DFＥ=∠2，∠AFＤ=∠CFG=∠３，∠ＢGH=∠４，∠ABH=∠5，∠ＧＢH=∠6,∠ＣDF=∠7，∠ＡDF＝∠８,∠ＡGＦ=∠９,∠ＡＨF=∠1０，∠AED=∠１1,∠AＥF=∠1２,∠AMF＝∠13，∠CGF=∠14,∠CEＦ=∠1５,∠ACG＝∠１6,∠ACE=∠1７、

由1=（AB/ＡB)·(ＡD/AＤ)＝（AB/BＧ）·(DE/AD）×（ＢG／CG)×（ＣE／DE)·（CＧ/CE)·(AD／AB）=

(sin∠4/ｓinθ）·（sinφ/sin∠11）×（sｉn∠2/sin∠3）·(ＢF/CＦ）×（sin∠1/ｓin∠2）

·（CF/DＦ）·(ＣG/CE)·（AD/AＢ)→

(sｉｎθ/ｓｉnφ)=(sｉn∠４/AB）·（AD/sin∠１1）·（ｓin∠1/sｉn∠3）

·（BF／CＦ）·(ＣF/DF)·（CG／CE）

=(ｓin∠B/ＡG)·（AＥ/sｉn∠D）·（sin∠1/sin∠3)·(sin∠１６/ｓin∠6）·（sin∠７/

ｓin∠１7)·（ＣG／CE）=

=（sｉn∠B/AＣ）·(AＣ/ｓin∠D）·（ＣG/AＧ)·(ＡE/CE）·（sｉn∠1/sｉｎ∠３）·(sin∠１6/

sｉｎ∠17)·(CＦ／sｉn∠6）·（ｓin∠7/CF）

=（sｉnα／BＣ)·(CＤ/sinα)·(siｎβ／siｎ∠１6）·（sin∠1７/ｓinγ)·（sin∠１／sin∠3）

·(ｓin∠16／siｎ∠17)(BC/ｓｉn∠1）（siｎ∠３/CD）→

=（ｓｉｎβ/sｉnγ）→sinφ·sinβ=sｉｎγ·ｓinθ※。

由※ｓinφ·ｓinβ=sinγ·ｓｉnθ，→由（二)→sin（α－γ)·siｎβ＝ｓinγ·sｉn（α-β）→

sｉnβｓinαcosγ—sinβcoｓαsinγ=

ｓinγsｉnαcosβ－ｓｉｎγcosαsiｎβ→ｓinβcｏsγ=ｓｉｎγｃosβ→ｔanβ=ｔａnγ，由β、γ〈π/2→β=γ。

所以∠CAＧ=∠CＡE。证毕。由此可见，只要证明了（ｓinβ/siｎγ)=（sinθ/sｉnφ），或sｉnφ·sinβ=

sinγ·sinθ※,就行。

(解二）接（解一)：由1=(AF／ＡG）·（ＡG/AC）·(AE/ＡＦ）·（AＣ/AE）⑴=（sｉn∠９/sin∠3。)·（ｓin∠16/

sin∠４。）·

(sin∠1。/sin∠12)·(sin∠11。/sｉn∠１7)＝（ｓin∠９/sin∠4）·（siｎ∠11/sin∠１2)·

(sin∠１6/sin∠3）·（sin∠1／ｓin∠17)=

（siｎ∠9／ｓｉn∠4）·(siｎ∠1１/sｉn∠12）·(FG／CG）·(CE／EF）=（ＢＧ/ＣＧ)×(sin∠9/siｎ∠4)

·（ＦG／ＢG）×（ｓin∠11/sin∠12）·

(DE/EF)·（ＣE/DE)＝（BG／ＣG）×(FH/BH）·（DM/MF)×（ＣE/DE）=（ｓin∠2／sｉn∠3）

·(BF/CF）×(FH/BH）·（DM/MF）×

（sin∠1/ｓin∠2）·（CＦ/DF)=(ｓin∠1／sin∠3）×（BF/BH）×（ＤM/ＤＦ）·（FＨ／MF)＝（sｉn∠1/

sｉn∠３）×(sinα/ｓiｎθ)·（AF/ＡＨ)×

(sｉnφ/ｓiｎα)·（AM/AF)·(FH/MF)=（sin∠1/sｉn∠3）·（sinφ/sｉ