第3节 随机事件与概率.doc

第三节随机事件与概率

课标解读

考向预测

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.

2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.

3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会求随机事件的并、交运算.

4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的概率加法公式.

5.理解古典概型及其概率计算公式.

近几年的高考以考查随机事件的频率与概率、古典概型为主，其中古典概型常与排列组合知识交汇考查．预计2025年高考以上题型均可能出现，其中随机事件的频率与概率的题目以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及古典概型以选择题、填空题的形式出现，难度中档.

必备知识——强基础

1．样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的eq\x(\s\up1(01))基本结果称为样本点，常用ω表示．

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．

②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．

(2)随机事件

①定义：将样本空间Ω的eq\x(\s\up1(02))子集称为随机事件，简称事件．

②表示：大写字母A，B，C，….

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．

2．事件的运算

定义

表示法

图示

并事件

事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)

eq\x(\s\up1(03))A∪B

(或A＋B)

交事件

事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

eq\x(\s\up1(04))A∩B

(或AB)

3．事件的关系

定义

表示法

图示

包含关系

若事件A发生，事件Beq\x(\s\up1(05))一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)

eq\x(\s\up1(06))B?A

(或A?B)

互斥事件

如果事件A与事件Beq\x(\s\up1(07))不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)

若A∩B＝?，则A与B互斥

对立事件

如果事件A和事件B在任何一次试验中eq\x(\s\up1(08))有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq\o(A,\s\up8(－))

若A∩B＝?，且A∪B＝Ω，则A与B对立

4.概率与频率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．

(2)频率稳定性的作用

可以用eq\x(\s\up1(09))频率fn(A)来估计概率eq\x(\s\up1(10))P(A)．

5．概率的性质

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq\x(\s\up1(11))P(A)＋P(B)；

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝eq\x(\s\up1(12))1－P(B)；

性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝eq\x(\s\up1(13))P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

6．古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：样本空间的样本点只有eq\x(\s\up1(14))有限个．

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性eq\x(\s\up1(15))相等．

7．古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\x(\s\up1(16))eq\f(k,n)＝eq\f(n（A）,n（Ω）).

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

1．概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．

1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的．()

(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．()

(3)从装有3个大球