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专题3.6阿氏圆
阿氏圆问题
问题:求解“AP+nPB”类加权线段和最小值
方法:①定:定系数,并确定是半径和哪条线段的比值
②造:根据线段比,构造母子型相似
③算:根据母子型结论,计算定点位置
④转:“AP+nPB”转化为“AP+PM”问题
关键:①可解性:半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
②系数小于1:内部构造母子型
③系数大于1:外部构造母子型
【典例1】阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点A、B,则所有符合=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆.这个
结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆.
阿氏圆基本解法:构造三角形相似.
【问题】如图1,在平面直角坐标系中,在x轴,y轴上分别有点C(m,0),D(0,
n),点P是平面内一动点,且OP=r,设=k,求PC+kPD的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤:
第一步:如图1,在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k;
第二步:证明kPD=PM;第三步:连接CM,此时CM即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分):
解:在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,
又∵∠POD=∠MOP,∴△POM∽△DOP.
任务:
(1)将以上解答过程补充完整.
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为△ABC内一动点,
满足CD=2,利用(1)中的结论,请直接写出AD+BD的最小值.
【解答】解(1)在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k,
又∵∠POD=∠MOP,
∴△POM∽△DOP.
∴MP:PD=k,
∴MP=kPD,
∴PC+kPD=PC+MP,当PC+kPD取最小值时,PC+MP有最小值,即C,P,M三点共
线时有最小值,
利用勾股定理得.
(2)∵AC=m=4,=,在CB上取一点M,使得CM=CD=,
∴的最小值为.
【变式1-1】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=9,⊙B的半径为3,点P
是⊙B上一点,连接AP,CP,则AP+CP的最小值为.
【答案】
【解答】解:连接BP,在BC上截取BQ=1,连接PQ,AQ,
∴,,
∴,
∵∠PBQ=∠CBP,
∴△BPQ∽△BCP,
∴,
∴PQ=CP,
∴AP+CP=AP+PQ≥AQ,
当A、P、Q三点依次在同一直线上时,AP+CP=AQ=的值最小,
故答案为:.
【变式1-2】如图,在正方形ABCD中.AB=8,点P是正方形ABCD内部的一点,
且满足BP=4,则PD+PC的最小值是()
A.6B.8C.10D.12
【答案】C
【解答】解:在BC边上取一点E,使BE=2,连接DE,如图
∵ABCD是正方形,AB=8
∴AB=BC=CD=8,∠BCD=90°
∵BP=4
∴,
∴且∠PBC=∠PBC
∴△PBE∽△BCP
∴
∴PE=PC
∴PD+PC=PD+PE
在Rt△DCE中,CD=8,CE=BC﹣BE=6
∴DE==10
∵PD+PE≥DE
∴PD+PE≥1
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