专题3.5 线圆最值（隐圆压轴二）（解析版）.pdf

专题3.5线圆最值

考点：线圆最值

已知O及直线l，O的半径为r，点Q为O上一点，圆心O与直线l之间

的距离为d.

位置关系直线与O相离直线与O相切直线与O相交

图示

点Q到直线l距离的

d＋r2rd＋r

最大值

过点O作直线l的垂线，其反向延长线与O的交点，即为

此时点Q的位置

点Q

点Q到直线l距离的

d－r0r－d

最小值

此时点Q的位置过点O作直线l的垂线，与O的交点即为点Q

拓展：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定

边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解

【典例1】如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点E是AB的中点，点P是

矩形ABCD内一点，且EP＝AE，连接CP，PD，则△PCD面积的最小值．

【答案】3

【解答】解：∵BC＝2AB＝4，

∴AB＝2，

•点E是AB的中点，

∴AE＝BE＝1．；

∴点P在以点E为圆心，1为半径的弧上运动，

过点P作PQ⊥CD于点Q，

过点E作EF⊥CD于点F，

则＝PQ，

∴当PQ最小时，△PCD的面积取得最小值•EP+PQ≥EF，

当E，P，Q三点共线时，PQ取得最小值，最小值EF﹣EP的值；

∴四边形ABCD是矩形，

∴EF＝BC＝4，

∴PQ最小＝EF﹣EP＝3，

∴S△PCD最小＝PQ最小＝3，

故答案为：3．

【变式1-1】（2022•观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，

AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）

A．B．C．6D．

【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的圆弧上，

如图，取AB的中点O，连接OD，当O、P、D三点共线时，PD有最小值，

连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，

∵点OAB的中点，

∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，

∵正六边形的每个内角180°×（6﹣2）÷6＝120°，

∵CD＝CB，

∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，

∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，

在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，

∴BD＝，

在Rt△OBD中，OD＝＝，

∴PD的最小值OD﹣OP＝．

故选：B．

【变式1-2】（安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点

D是BC边上一动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E．则线段BE长度

的最小值为（）

A．1B．C．D．

【解答】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心O

∵E点在以CD为直径的圆上