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第四章对数运算与对数函数§1对数的概念

学习目标1.理解对数的概念,知道自然对数和常用对数,培养抽象概括的核心素养.2.掌握指数式与对数式的互化以及对数的性质,培养数学运算素养.

知识梳理·自主探究师生互动·合作探究

知识梳理·自主探究知识探究问题:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……依此类推,那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞的个数为8个,256个呢?如果已知细胞分裂后的个数为N,如何求分裂次数呢?提示:2x个,3次,8次;由2x=N可知当N已知时,x的值即为分裂次数.

1.对数的概念(1)一般地,如果a(a0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b.其中a叫作对数的,N叫作.(2)ax=N?x=.(3)常用对数:以10为底数的对数,记作lgN.自然对数:以无理数e=2.718281…为底数的对数,记作lnN.思考1:指数式ab=N和对数式b=logaN(a0,a≠1)等价吗?提示:等价,如图,因此指数式与对数式可以互化.思考2:任何一个指数式都可以化为对数式吗?提示:不是,只有底数大于零且不等于1时才可以.底数真数logaN

2.对数的性质(1)loga1=(a0,且a≠1).(2)logaa=(a0,且a≠1).(3)零和负数.3.对数恒等式0(2)logaab=b.1没有对数

师生互动·合作探究探究点一指数式与对数式的互化[例1]将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式:(1)33=27;解:(1)因为33=27,所以log327=3.

[例1]将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式:(4)lg1000=3.解:(4)因为lg1000=3,所以103=1000.

方法总结指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式.(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.

针对训练:将下列对(或指)数式化成指(或对)数式:(2)logx64=-6;解:(2)因为logx64=-6,所以x-6=64.

针对训练:将下列对(或指)数式化成指(或对)数式:

探究点二对数的性质解:(1)因为log2(log5x)=0,所以log5x=20=1,所以x=51=5.[例2]求下列各式中x的值.(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lgx)=1;解:(2)因为log3(lgx)=1,所以lgx=31=3,所以x=103=1000.

[例2]求下列各式中x的值.(3)log3(log4(log5x))=0.解:(3)由log3(log4(log5x))=0,可得log4(log5x)=1,故log5x=4,所以x=54=625.

解:由log3(log4(log5x))=1可得log4(log5x)=3,则log5x=43=64,所以x=564.变式探究1:若将本例中(3)“log3(log4(log5x))=0”改为“log3(log4(log5x))=1”,又如何求解x呢?

变式探究2:本例中的(2)改为log(x+1)(2x-3)=1.如何求x的值?

方法总结利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a0,且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.

探究点三对数恒等式

方法总结(2)logaab=b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数.

针对训练:(1)已知函数f(x)=2x,则f(2+log23)=.?答案:(1)12

答案:(2)4

当堂检测B

A2.以下对数式中,与指数式5x=6等价的是()A.log56=x B.log5x=6C.log6x=5 D.logx6=5解析:根据指数式和对数式的关系,5x=6等价于log56=x.故选A.

3.计算:3log22+2log31-3log77+3ln1=.?解析:原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0.答案:0

4.求下列各式中的x的值.(1)lg0.00001=x;解:(1)由lg0.00001=x得lg10-5=x,所以x=-5.

备用例题

[例2]方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为()A.-3 B.3C.-1或3 D.1或-3解析:由lg(x2-1)=lg(2x+2),得x2-1=2x+2,即x2-2x-