高考数学一轮总复习课后习题 第八章 立体几何与空间向量 课时规范练43 证明平行、垂直与求空间距离.docVIP

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课时规范练43证明平行、垂直与求空间距离

1.如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=2AB,B1C112BC,AA1⊥平面BAC.求证:

(1)A1B1⊥平面AA1C;

(2)AB1∥平面A1C1C.

2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.

(1)求证:AG∥平面BEF;

(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.

3.如图1,C,D是以AB为直径的圆上两点,且AB=2AD,AC=BC,将△ABC所在的半圆沿直径AB折起,使得点C在平面ABD上的正投影E在线段BD上,如图2.

(1)求证:BC⊥平面ACD;

(2)已知O为AB的中点,在线段CE上是否存在点F,使得OF∥平面ACD?若存在,求出CFFE

4.(广东茂名二模)在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,O为AD的中点.

(1)求证:PO⊥BC;

(2)若AB∥CD,AB=8,AD=DC=CB=4,PO=27,点E在棱PB上,直线AE与平面ABCD所成角为π6

5.(天津,17)如图,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,M,N分别为BC,AB的中点.

(1)求证:A1N∥平面C1MA;

(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值;

(3)求点C到平面C1MA的距离.

6.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AC=4,BD=2,且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.

(1)求点B1到平面D1AC的距离;

(2)在线段BO1上,是否存在一个点P,使得直线AP与CD1垂直?若存在,求出线段BP的长;若不存在,请说明理由.

课时规范练43证明平行、垂直与求空间距离

1.证明∵AA1⊥平面BAC,∴AA1⊥AB,AA1⊥AC.

又AB=AC,BC=2AB,∴∠CAB=90°,即CA⊥AB,∴AB,AC,AA1两两互相垂直.

建立空间直角坐标系Axyz如图所示,设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).

(1)A1B1=(0,2,0),由图知,平面AA1C的一个法向量为n=(0,1,0).∴A1

∴A1B1⊥平面AA1C.

(2)易知AB1=(0,2,2),A1C1=(1,1,0),A1C=(2,0,-2),设平面A1C1

则m

令=(1,-1,1).

∴AB

∴AB1⊥m.又AB1?平面A1C

∴AB1∥平面A1C1C.

2.(1)证明以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别作为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(1,1,0),E1,12,1,F12,1,

故EF=-12,12,

∵AG不在平面BEF内,∴AG∥平面BEF.

(2)解设M(1,1,m)(0≤m≤1),则DM=(1,1,m),

∵DM⊥平面BEF,∴DM·

∴-12+m=0,解得m=12,故当M为棱BB1的中点时,DM

3.(1)证明因为CE⊥平面ABD,AD?平面ABD,所以AD⊥CE.

因为AD⊥DB,CE∩DB=E,所以AD⊥平面BCD.

因为BC?平面BCD,所以AD⊥BC.

又BC⊥AC,AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.

(2)解不存在.以O为坐标原点,以在平面ADB内且垂直于AB的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,垂直于平面ADB的直线为z轴建立空间直角坐标系(图略).

不妨设圆的半径为3,E为点C在平面ABD上的正投影,所以E在x轴正方向上.

由AB=2AD,知∠ABD=30°,则BE=2,OE=1,BC=6,CE=2,

所以E(1,0,0),B(0,3,0),C(1,0,2).

设F(1,0,t),t∈[0,2].

由(1)知BC即为平面ACD的法向量,BC=(1,-3,2),

若OF∥平面ACD,则OF·BC=0,即1+2t=0,t=-22

4.(1)证明∵PA=PD,O为AD的中点,∴PO⊥AD,又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴PO⊥平面ABCD,又BC?平面ABCD,∴PO⊥BC.

(2)解连接BD,由AB=8,AD=DC=CB=4,可知四边形ABCD为等腰梯形,梯形的高h=AD2-

∴BD=h2+6

∵AD2+BD2=16+48=64=AB2,∴AD⊥BD.

建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,27),A(2,0,0),B(-2,43,0),C(-4,23,0),D(-2,0,0),平面ABCD的法向量为n=(0,0,1),