专题3.4 辅助圆定点定长（隐圆压轴一）（原卷版）.pdf

专题3.4辅助圆定点定长

模型一：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆

模型二：点圆最值

已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离

为d，O半径为r.

位置关系点D在O内点D在O上点D在O外

图示

DE的最大值d＋r2rd＋r

连接DO并延长交O于点E

此时点E的位置

DE的最小值r－d0d－r

连接OD并延长交

此时点E的位置点E与点D重合连接OD交O于点E

O于点E

【典例1】（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助

圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°D是△ABC外一点

且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心AB为半径作辅助⊙A，则

点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可

容易得到∠BDC＝°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC

的度数．

（3）【问题拓展】

如图3，如图EF是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连

接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段

DH长度的最小值是．

【变式1-1】如图，在四边形ABCD中AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠

BCD＝105°，则∠BDC＝．

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【变式1-2】如图，在四边形ABCD中AC、BD是对角线AB＝AC＝AD，如

果∠BAC＝70°，那么∠BDC＝．

【变式1-3】如图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°AB＝AC＝4D、E分

别是ABAC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△

ADE，如图（2），设旋转角为a（0°＜a≤180°），记直线BD与CE的

1111

交点为P．

（1）求证：BD＝CE；

11

（2）当∠CPD＝2∠CAD时，则旋转角为a＝（直接写结果）

11

（3）连接PA，△PAB面积的最大值为（直接写结果）

【典例2】如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E是边AC上的任意一

点（点E不与点C重合），沿DE翻折△DCE使点C落在点F处，请画出点

F的轨迹．

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【变式2-1】如图，在▱ABCD中AE⊥BC于点E，将△AEB绕点B顺时针旋

转，使AB与边BC重合，得到△MNB，请画出在旋转过程中点M的运动轨

迹．

【变式2-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°AB＝4D是BC边上一动点，将△ABD

沿AD