2025中考复习数学考点专题探究课件：专题9　二次函数与几何综合.pptx

第三章函数

刷难关专题9二次函数与几何综合

专题9刷难关

类型1线段问题1.[2023宁夏中考，中]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B

两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x

＝1.(1)直接写出点B的坐标；123456

?∴a－b＋3＝0.②【解】(1)点B的坐标为(3，0).∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的对称轴是

直线x＝1，123456

?123456

(2)在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小.求点P的坐标和PA＋PC的最

小值；123456?

【解】(3)补全图形如图(2).由(1)得抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，由(2)得直线CB的解析式为y＝－x＋3，故设M(t，－t2＋2t＋3)，则Q(t，－t＋3)，∴MQ＝－t2＋3t.123456?

?123456?

方法技巧二次函数与线段问题设出点的坐标，根据两点间距离公式表示出需要的线段长，有时要利用

锐角三角函数、相似三角形将线段进行转化.若已知线段数量关系，则

可列方程求解；若求最值，则可利用二次函数性质求解.与y轴平行的线段长度等于两端点的纵坐标之差的绝对值，即PE＝｜yP

－yE｜(如图(1)).123456

利用锐角三角函数可将PE转化为PF(如图(2))，即PF＝PE·cos∠EPF

＝PE·cos∠OBC.123456

类型2面积问题2.[2023湖北荆州中考，较难]已知：y关于x的函数y＝(a－2)x2＋(a＋1)x

＋b.(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是?.123456

?②当a－2≠0时，y关于x的函数为二次函数.∵抛物线与坐标轴有两个公共点，123456

?123456

?123456

(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A(－2，0)，B(4，

0)，并与动直线l：x＝m(0＜m＜4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，

其中PA交y轴于点D，交BC于点E.设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2.①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1－S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.123456

?123456

②S1－S2存在最大值.如图，设直线l：x＝m交x轴于H.123456?

??123456

方法技巧铅垂法求面积??123456

类型3角度问题?(1)如图(2)，若抛物线经过原点O.①求该抛物线的函数解析式；?123456

?123456?

????123456

如图(1)，过点B作BF∥x轴交OP于点F，则点F的纵坐标与点B的纵

坐标相同.??123456

①当t＞2时，如图(2).【解】(2)∠CPE与∠BAO能相等.设点P的横坐标为t.123456(2)连接PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐

标；若不能，试说明理由.

设∠CPE＝∠BAO＝α，∠APC＝β，则∠APD＝α＋β.∵∠PCD＝∠PAO＋∠APC＝α＋β，由抛物线的对称性易知PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD＝∠APD，∴AP＝AD＝2(t－2)＋4＝2t.过点P作PF⊥x轴于点F，则AF＝t＋2.??123456

②当0＜t≤2时，如图(3)，过点P作PF⊥x轴于点F.??123456

③当－2＜t≤0时，如图(4)，过点P作PF⊥x轴于点F.???123456

?123456

关键点拨二次函数与角度问题二次函数问题中涉及角度相等时，一般考虑构造平行线或全等三角形或

相似三角形或辅助圆(同弧或等弧所对的圆周角相等)，也可以考虑将角

放在直角三角形中，利用锐角三角函数求解.123456

?(1)求抛物线的解析式.123456?

?令x＝0，可得D(0，－4).123456?

??∴Rt△BEG≌Rt△DFH(HL)，∴BG＝DH.??123456

??123456?

?123456?

设BN＝OE＝NP＝5m，则易得PQ＝3m，QN＝4m，∴BQ＝m.∵RQ∥x轴，∴△BRQ∽△BON，?123456?设RQ＝n，则EP＝NO＝5n.∵PQ⊥BM，PS⊥RS，BR⊥RS，∴∠BRQ＝∠QSP＝∠BQP＝90°，∴∠BQR＋∠PQS＝90°，∠BQR

＋∠QBR＝90°，

∴∠PQS＝∠QBR，?∴PS＝3n，QS＝3，则RS＝3＋n，123456∴xE＝TE＝TP－EP＝RS－EP＝3＋n－5n＝3－4n，yE＝TO＝TR＋RO＝PS＋RO＝3n＋4，?