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从“群〞谈起

辛林

10/4/2024.

一、“群〞的起源

1、法国数学家，近代代数学的创始人伽罗瓦

(E.Galois，1811-1832)

方程的根式求解

一元一次方程:

一元二次方程：

一元三次方程：

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一元三次方程经过适当的变量替换后化为如下方程：

三个根是:(意大利数学家卡尔达诺?大术?1545年)

其中是3次单位根，

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一元四次方程：

移项：

两边加上：得：

令右边的判别式为零，求得y的一个三次方程，求其根，

代入上式，求得根x.(卡尔达诺学生费拉里发现，记

载于?大术?中)

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一般一元n次方程是否有类似的根式解？

高斯(GaussC.F.德国数学家，1777-1855)于1799年哥

丁根大学完成的博士论文证明了代数根本定理：

每一个次数大于等于1的n次复系数多项式恰有n个根

法国数学家：拉格朗日(1736-1813)(预解式)，

德国数学家：高斯(分圆方程)

挪威数学家：阿贝尔(1802-1829)

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伽罗瓦的最主要功绩：

首先提出根的置换概念，每一个方程都可以与一个

置换群联系，从而用群论方法彻底解决的方程根式

解问题，更重要的是，群论的引入，为现代代数学

的开展奠定了根底。

方程与群的联系：给定多项式

f(x),称为f的分裂域，

伽罗瓦群,其元素是的所有置换。

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2、抽象群：

来源较多，难以准确说明，有克莱因抽象群说，

也有凯莱抽象群说等。

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二、群的其它应用

1、化学分子对称群〔分子对称群仅有32种〕

研究分子的对称性加深人们对物质性质的认识

氨分子：(1个氮原子N和3个氢原子H)

A

H

H

N

ac

H

b

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试比较分子结构图与正四面体图的对称变换区别：

1)、A为不动点

2)、a,b,c在一个平面上为正三角形，作它们的对称变换

3)、习惯上记氨的分子对称群记为，由6个元素组成。

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水分子对称群：水分子

O

HH

水分子对称群习惯记为,