数学分析（4版）-华东师范大学第6章微分中值定理及其应用.pptVIP

数学分析第六章§1拉格朗日定理和

微分中值定理及其应用

函数的单调性

中值定理是联一、罗尔定理与拉格朗

系f与f的桥梁.有了日定理

中值定理,就可以根据

f在区间上的性质来二、函数单调性的判别

得到f在该区间上的

整体性质.

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§1拉格朗日定理和函数的单调

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别

性

罗尔定理与拉格朗日定理

定理6.1（罗尔中值定理）

设函数f(x)在区间[a,b]上满足：

(i)在闭区间[a,b]上连续;

(ii)在开区间(a,b)上可导;

(iii)f(a)=f(b).

那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点,使

f()0.

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数学分析第六章微分中值定理及其应用

高等教育出版社

§1拉格朗日定理和函数的单调

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别

性

(1)几何意义

据右图,因为y

f(a)=f(b),

所以线段AB是水平AB

的.由几何直观可以

看出,曲线上至少有Ox

a12b

一点处的切线也是水

平的.

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§1拉格朗日定理和函数的单调

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别

性

(2)条件分析

定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不

一定成立.

y

x,0x1

(a)函数f(x)

0,x1

在[0,1]上满足条件(ii)和

x

(iii),但条件(i)不满足,该函O

数在(0,1)上的导数恒为1.结论不成立.

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§1拉格朗日定理和函数的单调

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别

性

y

(b)f(x)|x|,x[1,1]

满足条件(i)和(iii),但条件

却遭到破坏在

(ii)(fx=01O1x

处不可导),结论也不成立.

y

(c)f(x)x,x[0,1]满足

条件(i)和(ii),但条件(iii)

却遭到破坏,该函数在(0,1)

O1x

内的导数恒为1.结论也不成立.

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§1拉格朗日定理和函数的单调

罗尔定理与拉格朗日定理函数单调性的判别

性

2y

注函数f(x)xD(x)4

在区间[1,2]上三个

3

条件都不满足,却仍有

f(0)=0.这说明罗尔定2

理的三个条件是充分