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数学分析第二十一章

重积分§1二重积分概念

二重积分是定积分在

平面上的推广,不同之处在一、平面图形的面积

于:定积分定义在区间上,区

二、二重积分的定义及其存

间的长度容易计算,而二重

在性

积分定义在平面区域上,其

三、二重积分的性质

面积的计算要复杂得多.

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§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

平面图形的面积

我们首先定义平面图形的面积.

我们称平面图形P是有界的,如果存在一矩形R,

使得PR.

设P是一平面有界图形,用平行于二坐标轴的某一

组直线网分割这个图形图

T(21-1),这时直线网T

的网眼(小闭矩形)i可分为三类:

(i)i上的点都是P的内点;

上的点都是的外点即

(ii)iP,iP;

(iii)i上含有P的边界点.

数学分析第二十一章重积分

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§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

将所有属于第(i)类小矩形y

(图21-1中紫色部分)的面P

积加起来,记这个和数为

这

s(T),则有sP(T)R(

POx

表示包含的那个矩图211

里RP

形R的面积);将所有第(i)类与第(iii)类小矩形的

面积加起来(图21-1中除青色部分),记这个和数为

则有

SP(T),sP(T)SP(T).

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§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,

数集

{sP(T)}有上确界,{SP(T)}有下确界.记

IPsup{sP(T)},IPinf{SP(T)},

TT

显然有

0IPIP.(1)

通常称为的内面积为的外面积

IPP,IPP.

定义1

若平面图形满足则称为可求面积

PIP=IP,P

的图形并把共同值作为的面积

,IPIPIPP.

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§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

定理20.1

平面有界图形P可求面积的充要条件是:

对任给的0,总存在直线网T,使得

SP(T)sP(T).(2)

证必要性设有界图形的面积为由定义有

PIP.1,