数学分析（4版）-华东师范大学第18章隐函数定理及其应用.pptVIP

数学分析第十八章

隐函数定理及其应用§1隐函数

隐函数是函数关

系的另一种表现形式.一、隐函数概念

讨论隐函数的存在性、

二、隐函数存在性条件分析

连续性与可微性,不仅

是出于深刻了解这类函三、隐函数定理

数本身的需要,同时又四、隐函数求导举例

为后面研究隐函数组的

.

存在性问题打好了基础*点击以上标题可直接前往对应内容

§1隐函数隐函数概念隐函数存在性条件分析隐函数定理隐函数求导举例

隐函数概念

显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示

的函数称为显函数．例如：

y1sin3x,zx2y2.

隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个

方程式所确定的函数,通常称为隐函数．例如：

x2/3y2/3a2/3,x3y3z33xy0.

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数学分析第十八章隐函数定理及其应用

高等教育出版社

§1隐函数隐函数概念隐函数存在性条件分析隐函数定理隐函数求导举例

设ER2,F:ER.对于方程

F(x,y)0.(1)

若存在I、JR,使得对任一xI,有惟一确定的

yJ使得(x,y)E,且满足方程(1),则称由方程

(1)确定了一个定义在I,值域含于J的隐函数.如果

把此隐函数记为

yf(x),xI,yJ,

则成立恒等式

F(x,f(x))0,xI.

数学分析第十八章隐函数定理及其应用

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§1隐函数隐函数概念隐函数存在性条件分析隐函数定理隐函数求导举例

注1隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要

化为显函数．上面把隐函数仍记为yf(x)，这

与它能否用显函数表示无关．

注2不是任一方程F(x,y)0都能确定隐函数,

例如x2y210显然不能确定任何隐函数．

注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的

22

取值范围．例如由方程xy1可确定如下两

个函数：

2

yf1(x)(1x),x[1,1],y[0,1];

2

yf2(x)(1x),x[1,1],y[1,0].

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注4类似地可定义多元隐函数．例如:由方程

F(x,y,z)0确定的隐函数zf(x,y),由方程

F(x,y,z,u)0确定的隐函数uf(x,y,z),等

等.

在§2还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.

数学分析第十八章隐函数定理及其应用

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§1隐函数隐函数概念隐函数存在性条件分析隐函数定理隐函数求导举例

隐函数存在性条件分析

要讨论的问题是：当函数F(x,y)满足怎样一些

条件时,由方程(1)能确定隐函数yf(x),并使

该隐函数具有连续、可微等良好性质?

(a)把上述yf(x)看作曲面zF(x,y)与坐标