2024-2025学年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷和答案.docxVIP

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷

一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

1.若

2.

，且

，则

______.

______.

3.已知正实数a，b，c满足

4.已知函数

，则

的最小值为______.

时，y有最大值5，则a的值为______.

，，则的最大值为______.

，当

5.已知

中，BC上的一点D，

，且

中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若

，G，O，C共线，的面积为11，则的面积为

6.若点T为线段BC中点，

，

，

，

，则

______.

7.如图，在

，

______.

8.已知整数x，y，z满足

，则

的最小值为______.

9.已知x，y，z是大于1的正整数，且

为整数，则

______.

10.已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若

，则______.

，

，

二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

11.本小题8分

已知

，矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数

的面积为

与矩形的

BP，AP分别交于D，C，

第1页，共17页

判断并证明直线CD与AB的关系.

求k的值.

若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值.

12.本小题8分

如图，在

求证：

中，

，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，

于

证明：B，O，D，C四点共圆.

若

，求

第2页，共17页

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：

，

，

，

，

，

是方程

的两个根，

，

故答案为

根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成

实数根，利用根与系数的关系，得到结果．

的形式，其中x，

是其两个不等的

本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到x，

是

方程

的两个根，得到结果．

2.【答案】

【解析】解：原式

第3页，共17页

故答案为：

改写为

将

，

改写为

，…，再利用裂项相消法即可解决问题．

本题主要考查了数字变化的规律，能将

改写为

，

改写为

，…，及熟知裂项相消

法是解题的关键．

3.【答案】18

【解析】解：构造图示的三个直角三角形，

即

，

，

，

，

满足

，

，

，

，

，

则由勾股定理可知

，即

同理可得

，

，

所以

可知当A，C，E，G四点共线时，

最小，

即为AG长，当当A，C，E，G四点共线时

，

在

中

故答案为

本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即

则由勾股定理可知，即

，

，

，

同理可得

，

第4页，共17页

，

所以

可知当A，C，E，G四点共线时，

最小，

即为AG长，

本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．

4.【答案】1或7

【解析】解：由题意，

的对称轴是直线

，

当

时，

时，

又当

，当

时，

，

①当最大值为

或

，

不合题意；

②当最大值为

或

，

，均不合题意；

，

③当最大值为

不合题意或

综上，

或

故答案为：1或

依据题意，由

时，

的对称轴是直线

时，

，结合当

时，

，又当

，当

，进而分类讨论即可判断得解．

本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活

运用二次函数的性质是关键．

5.【答案】

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【解析】解：如图，以CD为边作等边三角形CDO，连接AO，过点O作

于E，

，

设

，则

，

，

，

点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，

当AB与圆O相切时，有最大值，

此时：

，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

又

又

，

，

四边形AOEB是平行四边形，

，

四边形AOEB是矩形，

，

故答案为：

第6页，共17页

由题意可得点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，则当AB与圆O相切时，

有最大值，由

，即

“HL”可证

，可得

，可证四边形AOEB是矩形，可得

可求解．

本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点A的

运动轨迹是解题的关键．

6.【答案】3

【解析】解：如图，过T作

延长DT交AB于

，

，

为线段BC中点，

，

在

和

≌

中，

，

，

，

，

面积

，

，

，

，

第7页，共17页

，

，

，

故答案为：

先画出图